Глава 13 статически неопределимый рамный брус (основы метода сил)

Статически неопределимые системы, состоящие из жестко связанных между собой стержней, называют рамами. Методы расчета статически неопределимых стержневых систем весьма разнообразны. Рассмотрим один из наиболее распространенных методов – метод сил.

При расчете статически неопределимых систем по методу сил в качестве неизвестных принимают усилия, заменяющие действие отброшенных (лишних) связей.

Лишние связи – это связи, лишние с точки зрения обеспечения неподвижности (геометрической неизменяемости) системы как жесткого целого. На плоскости неподвижность рамы может быть обеспечена тремя, соответствующим образом наложенными, связями. Такие связи называют необходимыми.

Связи, наложенные на систему сверх необходимых, называют лишними. Число лишних связей определяет степень статической неопределимости системы.

13.1. Порядок расчета методом сил

13.1.1. Анализируя структуру системы, устанавливаем степень статической неопределимости (число лишних связей).

13.1.2. Выбираем основную систему, которая получается из заданной системы после удаления лишних связей. Удаленные связи заменяют лишними неизвестными усилиями (Х₁, Х_2,...., Х_n).

Для расчета одной и той же системы можно использовать различные основные системы. Из них надо выбирать наиболее рациональную. При этом следует стремиться к тому, чтобы эпюры изгибающих моментов для основной системы были наиболее простыми.

Примеры выбора основной системы приведены на рис. 13.1.

Р

13.1.3. Составляем систему уравнений, число которых равно числу лишних неизвестных, т. е. степени статической неопределимости заданной системы:

(13.1)

Первое уравнение выражает равенство нулю перемещения в основной системе по направлению первой отброшенной связи (по направлению усилия Х₁), второе — по направлению второй отброшенной связи и т. д.

Уравнения (13.1) называются каноническими уравнениями метода сил (составляются по определенному правилу, (канону), и неизвестными в этих уравнениях являются силы, представляющие собой реакции отброшенных связей).

13.1.4. Вычисляем коэффициенты и свободные члены системы уравнений (13.1). С этой целью в основной системе строим единичные эпюры М₁ , М₂ ...., М_n (в отдельности от Х₁=1, Х₂ = 1,…, Х_n = 1) и, кроме того, строим грузовую эпюру М_р от заданной внешней нагрузки.

Все коэффициенты канонических уравнений (перемещения) вычисляют с использованием общего метода определения перемещений по способу Верещагина (см. приложение П. 6).

Главные коэффициенты, имеющие одинаковые индексы:

(13.2)

где _i — площадь эпюры изгибающих моментов М_i от единичного усилия Х_i = 1;

М_ic — ордината эпюры М_i, взятая под центром тяжести этой же эпюры. Например, ₁₁ вычисляют умножением эпюры М₁ на эпюру М₁ (саму на себя), и т.д. Главные коэффициенты всегда положительны.

Побочные коэффициенты, имеющие неодинаковые индексы:

(13.3)

где _i и _к — площади эпюр изгибающих моментов М_i или М_к взятые под центром тяжести соответствующих эпюр М_i или М_к. К примеру ₁₂ = ₂₁ вычисляют умножением эпюры М₁ на эпюру М₂ и т.д.

Свободные члены (грузовые коэффициенты):

(13.4)

где _р — площадь эпюры изгибающих моментов М_р от внешних нагрузок в основной системе;

М_ic — ордината эпюры М_i под центром тяжести эпюры М_p (грузовой эпюры). Например, _1р вычисляем умножением эпюры М_p на эпюру М₁ и т.д. Побочные и грузовые коэффициенты могут быть положительными, отрицательными и равными нулю.

13.1.5. Решая систему канонических уравнений, определяем неизвестные Х₁ ,Х₂, ...., Х_n . После этого изгибающий момент в любом сечении заданной рамы определяется по формуле

( 13.5)

Эпюры Q и N строятся обычным методом.