12.3. Расчёт на устойчивость по коэффициенту понижения φ допускаемого напряжения на сжатие [σ]с

Условие устойчивости сжатого стержня

(12.11)

где F_бр – полная площадь поперечного сечения стержня (при расчёте на устойчивость местные ослабления сечения практически не изменяют величину критической силы); [σ]_у – допускаемое напряжение при расчёте на устойчивость, которое равно

(12.12)

Значения коэффициента понижения φ, учитывающие запас устойчивости и зависящие от материала и гибкости стержня, приведены в приложении 4.

Расчётная формула на устойчивость имеет вид

(12.13)

Так как в формуле (12.13) два неизвестных – F_бр и φ, то подбор сечений ведут путём последовательных приближений, варьируя величину коэффициента φ.

В первом приближении берут φ = 0,5…0,6. Определяют требуемую площадь F_бр и подбирают сечение. Подобранное сечение проверяют и устанавливают фактическое значение φ_1табл.

Е сли φ_1табл значительно отличается от φ₁, то и напряжение будет отличаться от допускаемого. Тогда берётся второе приближение, в котором

(12.14)

В результате второго приближения определяют φ_2табл. Если требуется третье приближение, то

(12.15)

И так далее, пока φ и φ_табл не совпадут или будут отличаться в пределах 5%.

12.4. Пример

Стальной стержень длиной ℓ сжимается силой Р (рис 12.1).

Требуется: 1) найти размеры поперечного сечения при допускаемом напряжении на простое сжатие [σ]^- = 160 МПа (расчёт производить последовательными приближениями, предварительно задавшись коэффициентом φ = 0,5); 2) найти критическую силу и коэффициент запаса устойчивости, если дано: Р = 200 кН, ℓ =2,2м.

Р a

ℓ a 0,2a

Рис. 12.1. Заданная схема и форма поперечного сечения

Решение

12.4.1. Первое приближение

Зададим φ₁ = 0,5.

По формуле (12.13) находим требуемую площадь поперечного сечения

По приложению 1 находим:

Следовательно, при

По формуле (12.6) находим гибкость стержня

где μ = 2 (см. приложение 2).

По таблице приложения 4 для λ = 208,5 , φ_1табл = 0 « φ₁ = 0,5.

1 2.4.2. Второе приближение

Необходимая площадь поперечного сечения

Гибкость стержня:

По приложению 4, интерполируя, находим коэффициент

12.4.3. Третье приближение

Вычисляем необходимую площадь

Гибкость стержня

Интерполируя по таблице приложения 4, находим φ_3таб.= 0,293.

В ычисляем напряжение

Недонапряжение составляет

(допускается 5%).

Окончательно принимаем

а = 8,21·10^-2 м.

12.4.4. Определение критической силы и коэффициента

запаса устойчивости

Гибкость стержня λ = 158,8 > λ_пред = 100 .

Критическая сила по формуле (14.3):

где Е = 2·10⁵ МПа – модуль продольной упругости для стали.

Коэффициент запаса устойчивости определяем по формуле (12.1):