5.2. Числовые характеристики случайных величин

Для изучения распределения случайных величин пользуются рядом числовых характеристик: мер положения и мер рассеивания.

К характеристикам положения относятся: математическое ожи­дание, мода, медиана. Математическое ожидание случайной вели­чины называют также средним значением случайной величины.

Математическим ожиданием М (х) дискретной случайной величины X называется сумма произведений возможных значений ее на соответствующие вероятности:

(5,8)

Математическим ожиданием М(х) случайной непрерывной величи­ны Х называется определенный интеграл от произведения плотнос­ти вероятности на действительное переменное х, взятый в пре­делах от - до +

(5,9)

Модой называют значение случайной величины, имею­щее у дискретной величины наибольшую вероятность, а у непре­рывной — наибольшую плотность вероятности. Если кривая рас­пределения имеет один максимум, то мода равна значению случай­ной величины, соответствующей этому максимуму. Такая кривая называется унимодальной (одномодальной) (рис. 5.3, а). Если кри­вая распределения имеет два или несколько случайной величины одинаковых максимумов, то она соответственно называется двухмодальной, или многомодальной (рис. 5.3, 6).

Медианой случайной величины X называют такое ее значение Ме(х), для которого функция распределения равна 0,5. Это означа­ет, что вероятность случайной величины принять значение меньше медианы в точности равна вероятности этой величины принять зна­чение, большее медианы.

Для случайной непрерывной величины медиана определяется из соотношения

(5,10)

Геометрически медиана представляет собой абсциссу точки, ко­торая делит площадь, ограниченную кривой распределения, попо­лам (рис. 5.3, б).

Для случайной дискретной величины х необходимо расположить ее значения в порядке возрастания и в качестве медианы принять такое срединное значение х между и чтобы удовлетворить. Наряду с характеристиками положения используются числовые характеристики, по которым судят о рассеивании случайной вели­чины. К ним, в частности, относят дисперсию и среднеквадратическое отклонение.

Дисперсией D(x) случайной дискретной величины Х называется сумма квадратов отклонений случайной величины х от ее математического ожидания, умноженная на соответствующие вероятности:

(5,11)

Геометрически медиана представляет собой абсциссу точки, ко­торая делит площадь, ограниченную кривой распределения, попо­лам (рис. 5.3, б).

Для дискретной случайной величины х необходимо расположить ее значения в порядке возрастания и в качестве медианы принять такое срединное значение х между и чтобы удовлетворить Наряду с характеристиками положения используются числовые характеристики, по которым судят о рассеивании случайной вели­чины. К ним, в частности, относят дисперсию и среднеквадратическое отклонение.

Дисперсией D(x) случайной дискретной величины Х называется сумма квадратов отклонений случайной величины х от ее математического ожидания, умноженная на соответствующие вероятности:

(5,12)

Для случайной непрерывной величины дисперсия определяется по формуле

(5,13)

Среднеквадратическим отклонением случайной величины назы­вают положительное значение квадратного корня из дисперсии:

(5,14)