4.4. Финансовые ренты (аннуитеты) и их практическое использование

Финансовой рентой или аннуитетом называется ряд последовательных фиксированных платежей, производимых через равные промежутки времени.

Финансовые ренты (аннуитеты) характеризуются такими параметрами:

1. член ренты — величина каждого отдельного платежа;

2. период ренты — временной интервал между двумя платежами;

3. срок ренты — время от начала реализации ренты до момента начисления последнего платежа;

4. процентная ставка — ставка, используемая для расчета наращения платежей, составляющих ренту.

Кроме того, рента характеризуется: количеством платежей в год, частотой начисления процентов, моментом производства платежа (в начале, середине или в конце года) и т.д. [66, с. 91].

Обобщающими показателями ренты (аннуитета) являются будущая (наращенная) и текущая или настоящая (приведенная) ее величина.

Будущая стоимость аннуитета — это сумма всех членов потока платежей с начисленными на них процентами на конец срока, т.е. на дату последней выплаты [66, с. 91].

Для определения будущей стоимости обычного аннуитета можно использовать формулу:

, (4.49)

где F — будущая стоимость обычного аннуитета;

C — величина ежегодного взноса (платежа);

t — срок аннуитета;

n — процентная ставка;

— коэффициент наращения аннуитета.

В практике финансовых расчетов с использованием аннуитетов могут быть различные варианты рентных платежей и начисления процентов. Рассмотрим 4 возможных вариантов аннуитетов.

1. Рентные платежи вносятся раз в год, а проценты на них начисляются несколько раз в году, например, (m) раз в году. В этом случае будущая стоимость аннуитета определяется по формуле:

. (4.50)

2. Рентные платежи вносятся несколько раз в течение года равными суммами, а начисление процентов производится один раз в конце года. При таких условиях будущая стоимость аннуитета может быть определена:

, (4.51)

где р — число рентных платежей в течение года.

3. Рентные платежи вносятся (р) раз в году, начисление процентов производится (m) раз в году, число периодов начисления процентов в течение года равно числу рентных платежей в течение года, т.е. m = p. В этом случае будущая стоимость аннуитета определяется по формуле:

, (4.52)

где n — номинальная ставка процентов;

t — срок ренты в годах;

m — число периодов начисления процентов в течение года.

4. Рентные платежи вносятся (р) раз в году, начисление процентов производится (m) раз в году, число рентных платежей не равно числу периодов начисления процентов, т.е. p  m. Будущая стоимость аннуитета может быть определена из формулы:

, (4.53)

где р — число рентных платежей в течение года;

m — число периодов начисления процентов в течение года;

n — номинальная процентная ставка;

t — срок ренты.

Пример 4.24. Рентные платежи выплачиваются в течение 5 лет в размере 10 тыс. грн. Процентная ставка 12% годовых. Определить будущую стоимость аннуитета при следующих условиях:

а) платежи вносятся один раз в год, а проценты начисляются поквартально;

б) платежи вносятся 2 раза в год равными суммами, а проценты начисляются один раз в год;

в) рентные платежи вносятся поквартально, проценты начисляются поквартально;

г) рентные платежи вносятся ежеквартально, а проценты начисляются по полугодиям.

Решение: Используем формулы (4.50), (4.51), (4.52), (4.53)

а) тыс. гр.

б) тыс. гр.

в) тыс. гр.

г) тыс. гр.

При осуществлении финансовых вычислений иногда возникает необходимость определения размеров разовых платежей и срока аннуитета.

Величина рентного платежа может быть определена по формуле:

. (4.54)

Срок аннуитета определяется по формуле:

. (4.55)

Настоящая величина потока рентных платежей — это сумма всех его членов, уменьшенная (дисконтированная) на величину процентной ставки на определенный момент времени, совпадающий с началом потока платежей, или предшествующий ему.

Настоящая величина показывает, какую сумму следовало бы иметь первоначально, чтобы, разбив ее на равные взносы, на которые бы начислялись установленные проценты в течение срока ренты, можно было обеспечить получение наращенной суммы.

Оценка настоящей величины производится на момент начала реализации ренты.

Для ренты с членами, равными (С), настоящая величина определяется по формуле:

, (4.56)

где А — настоящая величина потока рентных платежей;

С — сумма рентного платежа;

а — коэффициент приведения ренты, показывающий, сколько рентных платежей (С) содержится в настоящей величине.

Коэффициент приведения ренты (а) определяется по формуле:

. (4.57)

Пример 4.25. Семья желает в течение 3 лет собрать сумму для приобретения автомобиля стоимостью 95 тыс. гр. Она может выделить на эти цели 28 тыс. гр. ежегодно, помещая их в банк под 12,5% годовых (проценты сложные). Какая сумма потребовалось бы семье для приобретения автомобиля стоимостью 95 тыс. гр., если бы он ее поместил бы в банк на 3 года под 12,5% годовых?

Решение: С = 28 тыс. гр.; t = 3; n = 12,5%.

тыс. гр.

Наращенная сумма при ежегодных платежах в размере 28 тыс. гр. под 12,5% годовых составит:

тыс. гр.

Из этого примера можно вывести математическую взаимосвязь величин:

. (4.58)

или

. (4.59)

При начислении процентов (m) раз в году настоящая величина аннуитета вычисляется по формуле:

. (4.60)

При внесении рентных платежей несколько раз в году и начислении процентов 1 раз в году настоящая величина аннуитета может быть определена по формуле:

, (4.61)

где р — число рентных платежей.

При условии, что число рентных платежей не равняется числу начисления процентов (p ≠ m) используется формула:

. (4.62)

При расчете настоящей величины аннуитета достаточно часто возникает необходимость определения срока ренты. Срок ренты при расчете настоящей приведенной величины аннуитета определяется по формуле:

. (4.63)

Размер годового платежа может быть определен по формуле:

. (4.64)