Екілік санау жүйесі

Жұмыстың мақсаты: сандарды бір санау жүйесінен екінші санау жүйесіне ауыстыруды үйрену; екілік санау жүйесінде арифметикалық амалдарды орындай білуге үйрену.

Компьютерде әдетте позициялық екілік санау жүйесі, яғни негізі 2 болатын санау жүйесі қолданылады. Екілік жүйеде кез келген сан екі 0 және 1 цифрларының көмегімен жазылады және екілік сан деп аталады. Екілік санның әрбір разрядын (цифрын) бит деп атайды.

Ондық сандар сияқты, кез-келген екілік санды екілік санға кіретін цифрлар салмағының айырмашылығын анық бейнелейтін қосынды түрінде жазуға болады. Бұл қосындыда негіз ретінде 2 санын қолдануға болады. Мысалы: 1010101,101 екілік сан үшін қосынды мына түрде болады:

1010101,101₂ =1*2⁶+0*2⁵+1*2⁴+0*2³+1*2²+0*2¹+1*2⁰+1*2^-1+0*2^-2+1*2^-3

Бұл қосынды ондық сан үшін жазылған қосындының ережесі бойынша жазылады. Берілген мысалда екілік сан жеті санды бүтін және үш санды бөлшек бөліктерден тұрады. Сондықтан бүтін бөліктің үлкен цифры, яғни бірі 2⁷ болып табылатын 1 саны 2⁶ дәрежесіне көбейтіледі, бүтін бөліктің нөлге тең келесі саны, 2⁵-ке көбейтіледі және т.с.с., кішкентайға, үшіншіге, дейін екінің дәрежесі кемуі бойынша цифрдың бөлшек бөлігі 2^-3-ке көбейтіледі. Осы қосындыда ондық жүйенің ережесі бойынша арифметикалық операцияларды орындай отырып, 85,625 санын аламыз. Осылайша, 1010101,101 екілік саны 85,625 ондық санына сәйкес келеді, немесе 1010101,101=85,625₁₀ .

Мысал:

1. 11100011₂=12⁷+12⁶+12⁵+02⁴+02³+02²+12¹+12⁰= 128+64+32+2+1=227₁₀

2.0,10100011₂=12^-1+02^-2+12^-3+02^-4+02^-5+02⁶+12⁷+12⁸= 0,5+0,125+0,0078+0,0039= 0,6367₁₀

Сандарды екілік жүйеден сегіздік санау жүйесіне ауыстыру

Кез келген цифрды сегіздік сан түрінде жазу үшін үш екілік цифрлар қажет. Сондықтан түрленетін екілік санды оңнан солға қарай екілік цифрлар тобына үштен бөледі. Екілік жүйедегі бөлшек санды сегіздік санау жүйесіне ауыстыру үшін санның бүтін бөлігін оңнан солға қарай бағытта, ал бөлшек бөлігін солдан оңға қарай бағытта үш екілік саннан бөліп жазып, кестені пайдаланып, сәйкесінше сегіздік санды жазамыз. Сол жақтан және оң жақтан жетпеген цифр орындарын нөлмен толықтырамыз.

М ысалы: 1101111011 екілік саны екілік цифрлар бойынша үштен топқа бөлінгенде, 1 101 111 011 түрінде болады. Кестеде көрсетілген цифр түрінде қарастырамыз. 1573₈;

1. 1011101,10011 санын сегіздік жүйеге ауыстырайық,

1 011 101,100 11 → 001 011 101,100 011 → 125,43₈;

Екілік санау жүйесі	000	001	010	011	100	101	110	111
Сегіздік санау жүйесі	0	1	2	3	4	5	6	7

Сандарды екілік жүйеден оналтылық санау жүйесіне ауыстыру

Екілік жүйеден оналтылық санау жүйесіне түрлендіргенде, екілік сан төрт екілік сан бойынша бөлінеді, өйткені оналтылық санның кез келген цифрын жазу үшін төрт екілік цифр қажет.

Мысалы:

1101111011 екілік санын төрт екілік цифр бойынша топқа бөлгеннен кейін, 11 0111 1011 сияқты жазуға болады. 37B₁₆;

Екілік жүйедегі бөлшек санды оналтылық санау жүйесіне ауыстыру үшін санның бүтін бөлігін оңнан солға қарай бағытта, ал бөлшек бөлігін солдан оңға қарай бағытта төрт екілік саннан бөліп жазып, кестені пайдаланып, сәйкесінше оналтылық санды жазамыз. Сол жақтан және оң жақтан жетпеген цифр орындарын нөлмен толықтырамыз.

Мысалы: 101111,100011 санын оналтылық жүйеге ауыстырайық,

10 1111,1000 11 → 0010 1111,1000 1100 → 2F8C₁₆;

Екілік санау жүйесі	0000	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111
Оналтылық санау жүйесі	0	1	2	3	4	5	6	7

Екілік санау жүйесі	1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111
Оналтылық санау жүйесі	8	9	A	B	C	D	E	F

Екілік сандарға арифметикалық амалдар қолдану

Екілік қосу

Екілік сандарды қосу сәйкес разрядтардың цифрларын тасымалды есепке алып қосуға ұқсайды. Екілік санды қосқанда, келесі төрт ереже қолданылады.

0+0=1 1+0=1

0+1=1 1+1=10

Мысал: Екі екілік 101+11 сандарын қосуды орындайық.

Жетпеген нөлдерді қосып, қосу амалын бағанда орындаған жөн

101

+011

Қ осу процесін кезеңмен қарастырайық.

1. Алдымен қосу кіші разрядта орындалады: 1+1=10. Қосындының кіші разрядына 0 жазылады да бірлік алдыңғы үлкен разрядқа тасымалданады.

2. Келесі сол жақ разрядтың цифрлары мен тасымалдың бірлігі қосылады: 0+1+1=10. Қосындыныің бұл разрядына 0 жазылады да, бірлік тағы да келесі разрядқа тасымалданады.

Енді үшінші сол жақ разрядтың цифрлары мен тасымалдың бірлігі қосылады: 0+1+1=10 Бұл разрядта 1 жазылады, ал бірлік келесі үлкен разрядқа тасымалданады. Нәтижесінде

101

+ 011

1000

1000₂=8₁₀

Екілік азайту

Екілік сандарды азайту кезінде мыналарды есте сақтау керек:

0-0=0 0-1=1

1-0=1 1-1=0

Мысал: 1010-101 екілік санның айырмасын табу. Кіші разрядтан бастап азайтуды бағанада орындаймыз:

1010

• 101 - азайту процесін кезеңімен қарастырайық:

1. Кіші разряд үшін 0-1 бар. Сондықтан үлкен разрядтан бірлікті аламыз және 10-1=1 –ді табамыз.

2. Келесі разрядта 0-0 =0 болады.

3. Сол жақтағы разрядта тағы да 0-1 болады. Үлкен разрядтан 1-ді аламыз және 10-1=1 – ді табамыз.

4. Келесі разрядта 0 қалады.

1010

5. -101

101 алынады.

Екілік көбейту

Екілік санды көбейту ережесі:

0*0=0 0*1=1

1*0=0 1*1=1

Мысалы: 101*110 екілік санының көбейтіндісін табу.

101 Тексеру: 101₂=1*2²+0*2¹+1*2⁰=5

110 110₂=1*2²+1*2¹+0*2⁰=6

000

+101

101

11110

11110₂=1*2⁴+1*2³+1*2²1*2¹+0*2⁰=16+8+4+2+0=30₁₀

яғни 5*6=30

Көбейту кестесін кезеңмен қарастырайық:

1.Кіші разрядқа көбейте отырып, кесте бойынша 000 аламыз.

2.Келесі разрядқа көбейткенде, бір разряд солға жылжыған 101-ді аламыз.

3.Үлкен разрядқа көбейткенде де, тағы бір разряд солға жылжыған 101-ді аламыз.

4.Енді екілік сандарды қосу кестесін есепке ала отырып, қосамыз да, 11110₂ нәтижені аламыз.

Екілік жүйедегі көбейту кестесі тым қарапайым болғандықтан көбейту тек көбейгішті жылжыту мен қосудан тұрады.

1 тапсырма: Санның негіз дәрежелерінің қосындысы түрінде жазыңыз:

1. 11010101₂= 4. 11100101₂= 7. 0,100101₂=

2. 11111010₂= 5. 11101001₂= 8. 11,10101₂=

3. 10101011₂= 6. 1101,011= 9. 111,10100₂=

2 тапсырма: Сандарды екілік санау жүйесінен сегіздік санау жүйесіне ауыстырыңыз:

1. 11110110011₂ = 6. 1101010,1100₂=

2. 110110101₂ = 7. 1010110,0101₂=

3. 110100110₂= 8. 11010,01101₂=

4. 10100110₂= 9. 1000,1101₂=

5. 1000011₂= 10. 11101,001₂=

3 тапсырма: Сандарды екілік санау жүйесінен оналтылық санау жүйесіне аударыңыз:

1. 111110101010₂ = 6. 101010101,11001₂=

2. 1101010100111₂ = 7. 101010101,1010101₂=

3. 10001110101₂ = 8. 1010111,01010₂=

4. 1010011011₂ = 9. 11111,11000₂=

5. 1001010011₂ 10. 101,1011011₂

4 тапсырма: Екілік сандарды қосыңыз:

1. 0110+0110= 4. 11001+11100= 7. 1010+011=

2. 11001+10111= 5. 11000+11101= 8. 10111+1011=

3. 10001+11101= 6. 1101+0110= 9. 111010+1110=

5 тапсырма: Екілік сандарды азайтыңыз:

1. 11010-01101= 6. 10111-1001=

2. 1101-0110= 7. 111011-11001=

3. 1101-111= 8. 10111-11100=

4. 10001-1011= 9. 11110-1001=

5. 11011-1001= 10. 101011-10111=

6 тапсырма: Екілік сандарды көбейтіңіз:

1. 1011110= 4. 1000101= 7. 1010101=

2. 11001111= 5. 101111100= 8. 10001111=

3. 010110= 6. 1101101= 9. 11101001=

Сегіздік санау жүйесі

Сегіздік санау жүйесінің негізі 8, яғни сегіз цифрдан құралады: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Сегіздік санау жүйесі позициялық санау жүйесіне жатады. Мысалы, 357 сегіздік санында жеті бірлік, бес сегіз және квадраты үш сегіз бар, яғни 357₈=3*8²+5*8¹+7*8⁰, мұнда 357 санының индексі «8» санау жүйесін білдіреді. Жазылған қосындыда ондық жүйенің ережесі бойынша арифметикалық әрекеттерді орындай отырып, 357₈=239₁₀ аламыз, яғни 357 сегіздік саны 239 ондық санға сәйкес келеді.

Сонымен, сегіздік санау жүйесіндегі санды ондық санау жүйесіне ауыстыру үшін сол санды негізінің дәрежелерінің қосындысы түрінде жазып алып, есептейміз. Мысалдар:

1. 461₈ = 4*8²+6*8¹+1*8⁰ = 4*64+6*8+1*1 = 256+49 = 305₁₀.

2. 172,54₈ = 1*8²+7*8¹+2*8⁰+5*8^-1+4*8^-2 = 64+56+2+5*

Тапсырмалар

Сегіздік санау жүйесіндегі сандарды ондық санау жүйесіне ауыстырыңызар:

1. 555₈ 5. 7411₈ 9.115,456₈

2. 633₈ 6. 325₈ 10. 25,456₈

3. 434₈ 7. 235,43₈ 11. 56,321₈

4. 2555₈ 8. 731_,45₈ 12. 231,44₈

Сегіздік санау жүйесіндегі сандарды екілік санау жүйесіне ауыстыру

Практикада екілік санау жүйесін пайдалану қолайсыз, сол себепті көбіне сегіздік және он алтылық санау жүйелері қолданылады.

2³=8 екенін білеміз, осыдан төменде келтірілген сәйкестікті табамыз: сегіздік санау жүйесіндегі әрбір санға екілік санақ жүйесіндегі үш разрядты (орынды) сан сәйкес келеді.

Екілік санау жүйесі	000	001	010	011	100	101	110	111
Сегіздік санау жүйесі	0	1	2	3	4	5	6	7

Енді осы сәйкестіктерді пайдалана отырып сегіздік санау жүйесіндегі санды екілік санау жүйесіне ауыстыру ережесі шығады:

Мысалдар:

1) 1447₈=001 100 100 111₂=1100100111₂.

2) 256,773₈= 010 101 110, 111 111 011₂ = 10101110,111111011₂;

Тапсырмалар

Кестені пайдаланып сегіздік сандарды екілік санау жүйесіне аударыңдар.

1. 436₈ 5. 5677₈ 9. 124,32₈

2. 1674₈ 6. 15,423₈ 10. 364,45₈

3. 6074₈ 7. 24,55₈

4. 1254₈ 8. 73,23₈

Сегіздік санау жүйесіндегі сандарды ондық санау жүйесіне ауыстырыңызар:

1. 124; 6) 4407; 11) 125,64;

2. 357; 7) 3556; 12) 321,45;

3. 706; 8) 6754; 13) 654,21;

4. 235; 9) 3701; 14) 332,21;

5. 663; 10) 5564; 15) 32,654;

Сегіздік санау жүйесіндегі сандарды екілік санау жүйесіне ауыстырыңыз:

1. 45; 6) 365; 11) 1657; 16) 741,21;

2. 73; 7) 321; 12) 2566; 17) 256,74;

3. 35; 8) 257; 13) 3265; 18) 654,31;

4. 61; 9) 652; 14) 7415; 19) 257,36;

5. 72; 10) 234; 15) 3614; 20) 741,32;

Сегіздік санау жүйесіндегі сандарды екілік санау жүйесіне ауыстырыңыз:

1. 2322₈ 6. 181,361₈ 11. 47₈

2. 7524₈ 7. 176,526₈ 12. 21,25₈

3. 223,245₈ 8. 7006₈ 13. 206,125₈

4. 425₈ 9. 125₈ 14. 640₈

5. 315,075₈ 10. 224₈

Сегіздік санау жүйесіндегі сандарды ондық санау жүйесіне ауыстырыңыз:

1. 122₈ 6. 131₈ 11. 13₈

2. 450,706₈ 7. 176,526₈ 12. 37,25₈

3. 253,245₈ 8. 3167₈ 13. 206,125₈

4. 426₈ 9. 125₈ 14. 47,53₈

5. 315,075₈ 10. 224₈