7.6. Анализ математических моделей

«В каждом знании столько истины, сколько в нем математики»

Иммануил Кант.

Каждая глава посвящена обычно одной задаче исследования. Каждая задача должна иметь содержательную (физическую) постановку и матема­тическую постановку.

Автору часто приходилось встречать аспирантов, которые утверждали, что в данной главе диссертации не может быть постановки задачи исследо­ваний, исходя из сути материала главы. Это - глубокое заблуждение. Любая научная задача исследований в любой отрасли знаний (в т ч в педагогике, медицине, психологии, социологии, политологии и т д , не говоря уже о технике) должна иметь как минимум содержательную постановку, сформулиро­ванную по правилу: «Дано...требуется..."». Обычно требуется найти «связь», «область значений», «величину». В первых двух случаях задача исследований может быть формализована как описательная задача, в третьем случае - как оптимизационная. Математические постановки задач исследований, посвященных выбору наилучших параметров, режимов, спо­собов, технологий, материалов, конструкций, схем и т. д. должны быть оп­тимизационными. Для каждой такой постановки выделите:

• управляемые переменные;

• целевые функции (целевую функцию);

• уравнения связи;

• область поиска решений (область допустимых решений).

Для каждой математической модели установите:

• математический класс задачи;

• обоснование предлагаемого метода решения;

• суть предлагаемого алгоритма;

• вычислительную сложность алгоритма;

• сходимость вычислительной процедуры;

• отличие от других алгоритмов для этой задачи.

Проиллюстрируем сказанное на примере². Некоторая фирма по вы­пуску мебели «Двенадцать стульев» во главе, естественно, с Остапом Ибра­гимовичем Бендером решила выпускать гарнитуры в стиле «мадам Петухова» и «генеральша Попова». Каждый вид продукции характеризуется, во-первых, затратами высококачественных пород древесины и импортных оби­вочных материалов, а во-вторых, размерами получаемой прибыли. Естест­венно, что ресурсы фирмы, дерево и материалы ограничены. Необходимо составить план производства, при котором прибыль была бы максимальной. Это и есть содержательная постановка задачи, над которой в дальнейшем будет биться великий комбинатор. Не имея соответствующей математиче­ской подготовки, заместитель председателя правления И. Воробьянинов решил использовать мотивацию и творческий потенциал аспиранта и при­гласил его быть деловым консультантом. Для решения задачи фирма представила таблицу:

Гарнитуры	Потребность в древесине	Потребность в обивоч­ных материалах	Прибыль
«Мадам Петухова»	5	40	400
«Генеральша Попова»	10	80	500
Ограничение по ресурсу	110	800

Глядя в нее, консультант сформулировал математическую постановку. «Допустим, что фирма будет выпускать х гарнитуров "мадам Петухова" и у гарнитуров "генеральша Попова"». Тогда задача ставится следующим обра­зом. найти такие целые х и у, чтобы

В задаче (1) - (5) выражение (1) есть целевая функция, неравенства (2) и (3) - уравнения связи, выражения (4) - (5) -ограничения на переменные, задающие область допустимых решений. Исходя из структуры целевой функции и ограничений, данную задачу можно отнести к классу целочислен­ных задач линейного программирования, которые хорошо решаются мето­дами отсечений, например методом Р. Гомори.

Опыт научного руководства автора показал, что аспиранты и соиска­тели испытывают большие затруднения:

• С выделением критерия оптимальности

• С различением критерия оптимальности и целевой функции

• С различением ограничений и уравнений связи

• С построением целевой функции

• С многокритериальными постановками задач.

Проверьте, соответствуют ли по смыслу понятия, использованные Ва­ми в диссертации, следующим общепринятым понятиям [29]:

• Критерий оптимальности - это некоторый показатель, имеющий экономическое, техническое или другое содержание, служащий фор­мализацией конкретной цели исследования (управления) и выра­жаемый при помощи целевой функции через факторы модели.

• Целевая функция - это математическое выражение, связывающие ме­жду собой управляемые и неуправляемые переменные. Содержа­тельный смысл целевой функции придает только критерий опти­мальности.

ПОМНИТЕ! Не следует смешивать критерий оптимальности и целе­вую функцию.

Так, например, критерий прибыли и критерий стоимости произведен­ной продукции могут описываться одной и той же целевой функцией:

где 1=1-п - номенклатура продукции, х— объем продукции i-го наиме­нования, с— прибыль или стоимость единицы продукции (в зависи­мости от постановки задачи) критерии разные - функция одна

• Управляемые переменные - это те переменные, которые Вы объяв­ляете искомыми (обозначаются через х, у, г и т.п.).

• Ограничения - это условия, налагаемые на управляемые переменные или их совокупности.

• Уравнения связи - математическая формализация системы ограниче­ний

Проиллюстрируем сказанное. В вышеприведенной модели (1) - (5) критерий оптимальности - прибыль, целевая функция - линейная форма (1), система ограничений определяет ограничения на использования древе­сины и обивочных материалов, уравнения связи - это линейные неравенст­ва (2) и (3), область допустимых решений - целые и положительные значе­ния х и у, что определяет 1-й квадрант в плоскости хОу.

ПОМНИТЕ! При защите диссертации у Вас должны быть плакаты или слайды (при компьютерной презентации) с постановками задач для каждой задачи исследования и с методами их реше­ния.