4.4. Организация ручных вычислений по формуле Лагранжа.

Непосредственное применение формулы Лагранжа приводит к большому числу однотипных вычислений. Организация вычисле­ний существенно улучшается, если пользоваться специальной вычислительной схемой.

В табл. 4.2 показано построение такой схемы для 4 узлов (i=0, 1, 2, 3). Таблица составляется заново для каждого нового значе­ния аргумента х.

Заполнение таблицы начинается с того, что вычисляются и заносятся в соответствующие клетки все элементарные разности. Вслед за этим вычисляются произведения Р_i разностей по стро­кам:

и т.д.

Таблица 4.2

x	x0	x1	x2	x3	Pi	yi	yi/ Pi
x0
x1
x2
x3

Легко видеть, что использованное в табл. 4.2 обозначение Р_i, это знаменатель в формуле Лагранжа (4.11), т.е.

(i=0,1,…,n).

С учетом этого обозначения формула Лагранжа имеет вид

Все необходимые значения последовательно получаются в таб­лице. Сумма S образуется сложением элементов последнего столб­ца. Для получения окончательного значения достаточно ум­ножить S на произведение (произведение диагональных разностей таблицы).

Пример 4.2. Имеется таблица значений некоторой функции:

x	f(x)	x	f(x)
0,41 1,55	2,63 3,75	2,67 3,84	4,87 5,03

Требуется получить значение этой функции в точке х=1,91, пользуясь интерполяционным многочленом Лагранжа.

Вычисления приведены в табл. 4.3. Для нахождения окончатель­ного результата сумма значений последнего столбца умножается на произведение диагональных разностей:

f(1,91) = 0,792·5,241 ≈ 4,15.

Таблица 4.3

x=1,91	x0	x1	x2	x3	Pi	yi	yi/ Pi
x0	1,50	-1,14	-2,26	-3,43	-13,26	2,63	-0,198
x1	1,14	0,36	-1,12	-2,29	1,05	3,75	3,561
x2	2,26	1,12	-0,76	-1,17	2,25	4,87	2,163
x3	3,43	2,29	1,17	-1,93	-17,74	5,03	-0,284
							5,242