5.8 Полуэмпирические оценки точности вычислений по квадратурным формулам.

Как следует из оценочных формул (5.42) и (5.45), оценка по­грешности метода интегрирования по формулам трапеций и Симп­сона возможна лишь тогда, когда подынтегральная функция зада­на аналитически. Однако даже и в этом случае на практике широ­ко применяется следующий эмпирический прием, пригодный для каждого из рассмотренных методов интегрирования. Искомый интеграл вычисляется дважды: при делении отрезка на частей и на частей (при интегрировании по формуле Симпсона значение должно быть четным). Затем полученные значения интеграла (обозначим их и ) сравниваются и совпадающие первые десятичные знаки считаются верными.

Указанный прием может быть уточнен и, в некотором смысле, обоснован. Пусть и — погрешности интегрирования по фор­муле Симпсона, соответственно при и отрезках разбиения. Учитывая (5.45), можно составить приближенную оценку

(5.47)

где и — длина отрезков разбиения (шаг интегрирования) в первом и втором случае. Понятно, что . Из (5.47) получаем:

(5.48)

Если — истинное значение интеграла, то и ,откуда с учетом (5.48) т.е.

(5.49)

Формула (5.49) удобна для практической оценки погрешности метода Симпсона, но требует двойного счета.

Аналогичное рассуждение применительно к методу трапеций приводит к оценке:

(5.50)

Из оценочных формул (5.42) и (5.45) следует, что ошибка интегрирования по методу трапеций и методу Симпсона уменьшается с уменьшением шага интегрирования (для метода Симпсона — значительно быстрее). На основании этого можно сделать вывод: при последовательном увеличении числа отрезков разбиения значение интеграла будет приближаться к точному. Однако это утверждение имеет чисто теоретическое значение. Дело в том, что в процессе практических вычислений при последовательном удвоении числа отрезков разбиения начинает сильно прогрессировать удельный вес ошибки округления, значение которой с некоторого момента ставит предел реально достижимой точности результата интегрирования.

Практическая часть.

Задание 1. Вычислить значение производной функции, заданной таблично, используя интерполяционные формулы Лагранжа или Ньютона, и оценить погрешности метода.

Задание 2. Вычислить интеграл от заданной функции на отрезке при делении отрезка на 10 равных частей двумя способами: 1) по формуле трапеций; 2) по формуле Симпсона. Произвести оценку погрешности методов интегрирования и сравнить точность полученных результатов. Расчеты выполнить двумя способами: "вручную" на калькуляторе, а затем с помощью табличного процессора Excel.

Пояснения к выполнению лабораторной работы № 5

Исходные данные к выполнению задания 1 берутся из табл. 4.20 — 4.23, которые выбираются в соответствии с номером варианта по табл. 4.15 (см. лабораторную работу № 4). Участок таблицы для дифференцирования, значение аргумента , а также используе­мый метод задаются преподавателем. Для оценки погрешности метода используются формулы (5.12) —(5.14) или (5.18) —(5.20). Учитывая, что аналитическое выражение таблично заданной фун­кции в табл. 4.20 — 4.23 также известно, предоставляется возмож­ность — как и при выполнении предыдущего задания — для сопо­ставления точности полученных числовых результатов вычислить значение производной заданной функции в точке путем не­посредственного дифференцирования формулы и последу­ющего вычисления значения ; эти вычисления должны быть выполнены с помощью табличного процессора Excel. Пе­ред выполнением задания следует прочитать подразд. 5.2, 5.3, разобрать все приведенные в тексте примеры.

Исходные данные для выполнения задания 2 берутся из табл. 5.5. Отрезок интегрирования разбивается на 10 равных частей и про­изводится ручное вычисление интеграла по формулам трапеций, Симпсона. Для расчетов по формулам трапеций и Симп­сона удобно составить единую таблицу значений подынтегральной функции по схеме:

Таблица 5.7.

По каждому из трех столбцов таблицы находятся суммы соот­ветствующих значений подынтегральной функции (при этом по столбцу для формулы трапеций находится сумма всех элемен­тов столбца, а для формулы Симпсона — только с четными ин­дексами). Задание выполнить также в Excel.

Для оценки погрешности методов используются оценочные формулы (5.42), (5.45). Их применение предполагает ис­следование модулей соответственно второй и четвертой произ­водной подынтегральной функции на отрезке .