6.3 Вычисления по методу границ.
Если нужно иметь абсолютно гарантированные границы возможных значений вычисляемой величины, используют специальный метод вычислений – метод границ.
Пусть
- функция непрерывная и монотонная в
некоторой области допустимых значений
аргументов
и y.
Нужно получить ее значение
,
где a
и b
– приближенные значения аргументов,
причем достоверно известно, что
<
а <
<
b
<
. (1.12)
Здесь НГ, ВГ – обозначения соответственно нижней и верхней границ параметров. Итак, вопрос состоит в том, чтобы найти строгие границы значения при известных границах значений а и b.
Допустим, что функция возрастает по каждому из аргументов х и у. Тогда
<
<
.
Пусть теперь возрастает по аргументу х и убывает по аргументу у. Тогда будет строго гарантировано неравенство:
<
<
.
Рассмотрим указанный принцип
на примере основных арифметических
действий. Пусть
.
Тогда очевидно, что
<
<
(1.13)
Точно так же для функции
(она возрастает по х,
а по у
убывает) имеем:
<
<
(1.14)
Аналогично для умножения и деления:
<
<
;
(1.15)
<
<
. (1.16)
Рассмотрим функцию
.
Замечаем, что при увеличении х
она убывает, а с увеличением у
– возрастает (при
соблюдении условий существования).
Следовательно имеет место неравенство:
<
<
.
Вычисляя по методу границ с пошаговой регистрацией промежуточных результатов, удобно использовать обычную вычислительную таблицу, состоящую из двух строк – отдельно для вычисления НГ и ВГ результата. При выполнении промежуточных вычислений и округлении результатов используются все рекомендации правил подсчета цифр с одним важным дополнением: округление нижних границ ведется по недостатку, а верхних - по избытку. Окончательные результаты округляются по этому же правилу до последней верной цифры.
В таблице 1.5 приведены
вычисления по формуле
методом границ. Нижняя и верхняя границы
значений а
и b
определены из условия, что в исходных
данных
и
все цифры верны в строгом смысле
,
т.е. 2,1555<а<2,1565;
0,9265<b<0,9275;
Таблица 1.5.
|
a |
b |
|
|
+ |
|
|
|
A |
НГ |
2,1555 |
0,9265 |
8,63220 |
0,96255 |
9,59475 |
0,85840 |
3,01434 |
1,10338 |
8,6894 |
ВГ |
2,1565 |
0,9275 |
8,64084 |
0,96307 |
9,60391 |
0,86026 |
3,01676 |
1,10419 |
8,7041 |
Таким образом, результат вычислений значения А по методу границ имеет вид:
8,6894<А<8,7041.
Приближенные вычисления по формулам с использованием инструментального пакета Excel.
Оценка точности получения результатов при осуществлении элементарных арифметических расчетов может быть предусмотрена и при использовании инструментального программного средства Ехсеl. К сожалению, запроса точности исходных данных при применении этого пакета не предусматривается. Это означает, что пользователь должен сам организовывать учет ошибок вычислений.
Значительная часть интегрированных программных средств автоматизации процесса решения математических задач принадлежит к классу систем символьной математики.
Символьный тип данных — это символы, тексты и математические выражения (формулы).
Целочисленные данные представляются без погрешности, и арифметические операции над целыми числами системы выполняют также без погрешностей.
Рациональные данные задаются отношением целых чисел и также представляют результат точно. Количество цифр, представляющих большое целое число, ограничено лишь его значением, но не фиксированными форматами.
Для целочисленных операций используются не обычные команды микропроцессора, ориентированные на фиксированные форматы, а специальные, реализованные программно, алгоритмы вычислений с целыми числами произвольной разрядности.
Вещественные числа в системах символьной математики могут иметь мантиссу с любым, но конечным числом знаков.
Вещественные числа всегда имеют некоторую погрешность представления результатов из-за неизбежного округления их и существования так называемого “машинного нуля” — наименьшего числа, которое воспринимается как нуль
Посмотрим выполнение расчетов средствами инструментального пакета Excel по формулам на основе уже рассмотренных нами ранее примеров вычислений.
Пример
1.10.
Вычислим
значение величины А
=
при заданных
значениях параметров а
и
b
с итоговой
регистрацией результатов
вычислений по методу систематического
учета границ
абсолютных погрешностей (рис. 1.1) в среде
табличного процессора
Ехсе1. Для этого воспользуемся формулой,
полученной путем последовательного
применения формул для погрешностей
арифметических действий и элементарных
функций, приведенных в табл. 1.1 и 1.2.
.
Используя результаты, полученные в таблице, изображенной на рис. 1.1 , получаем :
А=8,70±0,01.
Пример 1.11. Предыдущее задание может быть выполнено в Ехсel и с пошаговой регистрацией границ абсолютных погрешностей (рис. 1.2).
В ячейках электронной таблицы записываем соответствующие формулы (см. рис. 1.2). На каждом шаге вычислений выполняется ручное округление результатов до цифр, верных в широком смысле (т.е. с одной запасной цифрой). Для этого используется встроенная функция округления ОКРУГЛ (число;количество_цифр).
Результаты расчетов представлены на рис. 1.3.
Окончательный результат: А=8,70±0,01.
.
