Лабораторная работа № 5 Тема: Численное дифференцирование и интегрирование Теоретическое введение.

5.1. Постановка задачи численного дифференцирования.

Множество прикладных задач, решаемых средствами класси­ческого математического анализа, сводится к нахождению произ­водной функции, первообразной или определенного интеграла от заданной функции.

При аналитическом задании указанной функции ее дифферен­цирование и (или) интегрирование следует, в первую очередь, стремиться выполнить аналитически. В классе элементарных функ­ций, с которыми чаще всего приходится на практике иметь дело, операция дифференцирования выполняется достаточно просто и никогда не выводит за пределы этого класса. Операция же нахож­дения первообразной в этом классе функций, напротив, очень часто выводит за пределы класса элементарных функций, и по­этому технически существенно сложнее. Поскольку классический способ вычисления определенного интеграла по формуле Ньюто­на—Лейбница требует нахождения первообразной, то те же труд­ности переносятся и на вычисление определенных интегралов.

При табличном задании функции, для которой требуется осу­ществить дифференцирование или интегрирование (а такой спо­соб задания функции в приложениях встречается чрезвычайно часто), возможности аналитических методов вообще неясны без уточнения постановки задачи.

В силу указанных факторов численные методы дифференциро­вания и интегрирования при решении прикладных математичес­ких задач играют важную роль и поочередно будут нами рассмотрены.

Как известно, производная аналитически заданной функции в точке определяется следующим образом:

(5.1)

при этом функция должна быть непрерывна в окрестности точки . Хорошо известная из введения в математический анализ формула при определенном подходе (когда, скажем, получение аналитического выражения производной по каким-либо причи­нам затруднительно) может быть использована для быстрого по­лучения достаточно хорошего приближения к числовому значе­нию производной в точке . Для этого строится последователь­ность значений , сходящаяся к , и вычисляется соответствую­щая последовательность значений разностных отношений

(5.2)

Поскольку последовательность (5.2) сходится к , каждое новое значение будет, вообще говоря, давать все более точное значение (оговорка сделана по известной причине — поме­хой может стать неустойчивость вычислений).

В силу ряда причин, численное дифференцирование применяется , прежде всего, для таблично заданных функций. Задача ставится следующим образом: функция задана таблицей 5.1 на отрезке в узлах Требуется найти приближенное значение производной этой функции в некоторой точке ( может быть как узловой точкой, так и расположенной между узлами).

Таблица 5.1

x	x0	x1	…	xn
y	y0	y1	…	yn

Один из подходов к решению этой задачи заключается в том, что по таблице значений строится интерполирующая функ­ция и за значение производной приближенно прини­мается т.е. (5.3)

При этом задача не может считаться решенной, если нет оцен­ки погрешности, т.е. величины Отметим одно чрезвычайно важное обстоятельство — некор­ректность (в общем случае) этого приема. В процессе построения интерполирующей функции мы стремимся сделать ее значения близкими (в заданной мере) зна­чениям исходной функции во всех точках отрезка интерполяции.

y

Э та задача, вообще говоря, разреши­ма и погрешность интерполя­ции, т. е. максимальное расхожде­ние между функциями, можно оценить. Однако близость значе­ния двух функций не гарантирует близость значений их производ­ных, т. е. тангенсов углов наклона касательных. Это утверждение ил­люстрируется на рис. 5.1, где сплошная линия — график исход­ной функции , пунктирная линия — интерполирующей фун­кции . Из рисунка хорошо видно, что близость (и даже совпа­дение) значений функций вовсе не означает близости значений производных, т. е. тангенсов углов наклона касательных и .

Рис. 5.1. Иллюстрация некоррект­ности решения задачи численного дифференцирования с помощью интерполяционного многочлена