Лабораторная работа № 1 Тема: Методы оценки погрешностей Теоретическое введение.

1. Абсолютная и относительная погрешности.

Пусть Х – точное значение некоторой величины, а х – наилучшее из известных приближений. В этом случае ошибка (или погрешность) приближения определяется разностью . Обычно знак этой ошибки не имеет решающего значения, поэтому рассматривают абсолютную величину ошибки:

= (1.1)

Величина называемая абсолютной погрешностью приближенного значения х, в большинстве случаев остается неизвестной, так как для ее вычисления необходимо знать точное значение Х. Вместе с тем на практике обычно удается установить верхнюю границу абсолютной погрешности, т.е. такое (по возможности наименьшее) число , для которого справедливо неравенство:

(1.2)

Число в этом случае называют предельной абсолютной погрешностью (или границей абсолютной погрешности) приближения х. Таким образом, предельная абсолютная погрешность приближенного числа х – это всякое число , не меньшее абсолютной погрешности этого числа.

Пример 1.1 Возьмем число =3,14159265358… . Если вызвать на индикатор 8-разрядного МК, получим приближение этого числа =3,1415926. Попытаемся выразить абсолютную погрешность значения : = =0,00000005358… . Получили бесконечную дробь, непригодную для практических расчетов. Очевидно, однако , что <0,00000006, следовательно число 0,00000006=0,6·10^-7 можно считать предельной абсолютной погрешностью приближения, используемого МК вместо числа : =0,6·10^-7

Неравенство (1.2) позволяет установить приближения к точному значению Х по недостатку и избытку: (1.3)

которые могут рассматриваться как одна из возможных пар значений соответственно нижней границы (НГ) и верхней границы (ВГ) приближения х:

НГ_х= ; ВГ_х= ; (1.4)

Во многих случаях значения границы абсолютной ошибки , так же как и наилучшие значения приближения х, получаются на практике в результате измерений. Пусть, к примеру, в результате повторных измерений одной и той же величины получены значения: 5,2; 5,3; 5,4; 5,3. В этом случае естественно принять за наилучшее приближение измеряемой величины среднее значение х=5,3. Очевидно также, что граничными значениями величины х в данном случае будут НГ_х=5,2, ВГ_х=5,4, а граница абсолютной погрешности может быть определена как половина длины интервала, образуемого граничными значениями НГ_х и ВГ_х, т.е. = =0,1.

По абсолютной погрешности нельзя в полной мере судить о точности измерений или вычислений. Качество приближения измеряется с помощью относительной погрешности, которая определяется как отношение ошибки к модулю значения Х (когда оно неизвестно, то к модулю приближения х). Предельной относительной погрешностью (или границей относительной погрешности) приближенного числа называется отношение абсолютной погрешности к абсолютному значению приближения х:

= (1.5)

Формула (1.5) позволяет при необходимости выражать абсолютную погрешность через относительную:

= (1.6)

Относительную погрешность выражают обычно в процентах.

Пример 1.2. Вычислить границу относительной погрешности приближения к числу , используемого 8-разрядным МК (см. пример 1.1)

Учитывая, что <0,2·10^-7, можно принять =0,000002%. Это чрезвычайно высокая точность, если учесть, что для ординарных технических расчетов считается приемлемым уровень точности от 0,1 до 5%.