Практическая часть.
Задание. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения у' = f(x,y) на отрезке [a; b] при заданном начальном условии и шаге интегрирования h.
Задание 1.1. Методом Эйлера с применением «ручных» вычислений с шагом 2h, а также с помощью табличного процессора Excel с шагом h. Свести результаты вычисления в одну таблицу и сопоставить точность полученных значений функции. Пользуясь таблицей, сделать ручную прикидку графика интегральной кривой на бумаге.
Задание 1.2. Методом Рунге —Кутта с помощью табличного процессора Excel с шагом h и шагом h/2. На основе результатов двойного счета сделать вывод о точности полученного решения. Сравнить между собой результаты вычислений по методу Эйлера и методу Рунге-Кутта. Предусмотреть вывод полученных решений в виде таблиц и графиков (см. табл. 6.2).
Исходные данные для задания содержатся в табл. 6.3.
Пояснения к выполнению лабораторной работы № 6
Первая часть задания (метод Эйлера) выполняется двумя способами: с помощью ручных вычислений (например, с помощью калькулятора) и с помощью табличного процессора Excel. Результаты ручных и машинных вычислений вносятся в одну таблицу (см. табл. 6.1). Значения искомой функции в соответствующих узлах сравниваются между собой и составляется представление о точности полученного результата. По вычисленной таблице функции строится точечный график и проводится плавная кривая.
По второй части задания производится расчет с помощью табличного процессора Excel — для шага h и шага h/2 (на одном и том же отрезке интегрирования [a; b]. Путем сравнения полученных значений делается вывод о точности результата, которая сопоставляется с точностью интегрирования по методу Эйлера.
Для оценки погрешности используется полуэмпирическая формула (6.21).
Варианты заданий.
Таблица 6.3.
Вариант |
у' = f(x,y) |
а |
b |
c |
h |
1 |
|
24,00 |
5,00 |
0,70 |
0,10 |
2 |
|
2,60 |
4,60 |
1,80 |
0,20 |
3 |
|
-1,00 |
1,00 |
0,20 |
0,20 |
4 |
|
2,00 |
3,00 |
1,20 |
0,10 |
5 |
|
0,00 |
0,50 |
0,30 |
0,05 |
6 |
|
1,00 |
2,00 |
0,90 |
0,10 |
7 |
|
0,60 |
2,60 |
3,40 |
0,20 |
8 |
|
1,50 |
2,00 |
2,10 |
0,05 |
9 |
|
2,10 |
3,10 |
2,50 |
'0,1 |
10 |
|
3,00 |
5,00 |
1,70 |
0,20 |
11 |
|
1,00 |
3,00 |
1,50 |
0,20 |
12 |
|
1,00 |
2,00 |
0,90 |
0,10 |
13 |
|
2,00 |
3,00 |
2,30 |
0,10 |
14 |
|
0,10 |
0,50 |
1,25 |
0,05 |
15 |
|
-2,00 |
-1,00 |
3,00 |
0,10 |
16 |
|
0,00 |
2,00 |
2,90 |
0,20 |
17 |
|
1,50 |
2,50 |
0,50 |
0,10 |
18 |
|
1,50 |
2,00 |
1,40 |
0,05 |
19 |
|
0,00 |
0,50 |
2,60 |
0,05 |
20 |
|
1,00 |
3,00 |
1,80 |
0,20 |
