5.4. Постановка задачи численного интегрирования.

При вычислении определенного интеграла

где — непрерывная на отрезке функция, иногда удает­ся практически воспользоваться формулой Ньютона—Лейбница:

(5.27)

Здесь одна из первообразных функций (т.е. такая функ­ция, что ). Однако даже в тех практически редких случа­ях, когда первообразную удается явно найти в аналитической форме, не всегда удается довести до числового ответа значение определенного интеграла. Если к тому же учесть, что иногда по­дынтегральная функция вовсе задается таблицей или графиком, то становится понятным, почему формула (5.27) не исчерпывает практических приемов вычисления интегралов.

На практике часто применяют различные методы приближен­ного (численного) интегрирования. Формулы, используемые для приближенного вычисления интегралов, называют квадратурны­ми формулами. Простой прием построения квадратурных формул состоит в том, что подынтегральная функция заменяется на отрезке интерполяционным многочленом, например много­членом Лагранжа , и принимается приближенное равенство

(5.28)

Подобный подход удобен тем, что он приводит к алгоритмам, легко реализуемым на компьютере и позволяющим получить ре­зультат с точностью, достаточной для широкого круга практичес­ких приложений. При этом предполагается, что отрезок раз­бит на частей точками наличие которых подразумевается при построении многочлена . В силу фак­тической единственности интерполяционного полинома й сте­пени для данной функции и данной системы узлов не имеет зна­чения, использовать ли в этой процедуре многочлен Лагранжа или многочлены Ньютона.

Подставляя в (5.28) вместо его представление (4.11), получим

Таким образом,

(5.29)

где

(5.30)

По поводу полученных формул можно заметить, что:

1) коэффициенты не зависят от вида функции , так как они составлены только с учетом узлов интерполяции;

2) если — полином степени то тогда формула (5.17) — точная, ибо в этом случае

5.5. Квадратурные формулы Ньютона-Котеса.

С учетом (5.6) и (5.8) формула (5.30) для “весовых” коэффи­циентов принимает вид

(5.31)

Перейдем в этом интеграле всюду к переменной . Из подстановки (5.4) получаем:

т.е. .

При , имеем , а при будет

Тогда

(5.32)

где

(5.33)

Числа называют коэффициентами Котеса. Как видно, коэффициенты Котеса не зависят от вида функции , а только от числа точек разбиения. Окончательно с учетом формул (5.28) и (5.31) по­лучаем следующий вид квадратурных формул Ньютона—Котеса:

(5.34)

дающих на одном участке интегрирования различные представле­ния для различного числа отрезков разбиения.

5.6 Формула трапеций

При из формулы (5.33) имеем

Тогда по формуле (5.34) на отрезке получаем интеграл

(5.35)

Ф ормула (5.35) дает один из простейших способов вычисления определенного интеграла и называется формулой трапеций. Действи­тельно, при подынтеграль­ная функция заменяется интерполяционным многочленом Лагранжа первой степени (т.е. линейной функцией), а геометрически это означает, что площадь криволинейной фигуры подменяется площадью трапеции (рис. 5.2). Распространяя формулу (5.35) на все отрезки разбиения, по­лучим общую формулу трапеций для отрезка

(5.36)

Если аналитическое выражение подынтегральной функции известно, может быть поставлен вопрос об оценке погрешности численного интегрирования по формуле (5.36) (погрешность ме­тода). В этом случае имеется в виду, что где — остаточный член

Рис. 5.2. Иллюстрация к вычислению интеграла по формуле трапеций

квадратурной формулы (5.36). Формулу остаточного члена получим вначале для отрезка . Имеем

откуда следует, что естественно рассматривать как функцию шага : . Заметим, что . Продифференцируем по :

Замечаем, что . Далее:

(5.37)

Выведем сейчас , последовательно интегрируя на от­резке :

откуда с учетом (5.37) имеем

(5.38)

Применяя к (5.38) обобщенную теорему о среднем (Если функции и непрерывны и не меняет знака на отрезке , то существует такая точка что ), получаем

(5.39)

где и зависит от . Далее:

откуда с учетом обобщенной теоремы о среднем и (5.39) имеем:

(5.40)

где .

Таким образом, погрешность метода при интегрировании функции на отрезке по формуле (5.36) имеет значение

(5.41)

Из формулы (5.41) видно, что при формула (5.36) дает значение интеграла с избытком, а при — с недо­статком.

Для оценки погрешности интегрирования на всем отрезке рассуждаем следующим образом. Общая погрешность складывается из суммы погрешностей на каждом частичном отрезке, опре­деляемых по формуле (5.40): С учетом (5.41) имеем

где .

Учитывая, что получаем следующий окончательный вид формулы для оценки погрешности метода интегрирования по формуле трапеций:

(5.42)

Таблица 5.3

Пример 5.6. Вычислить интеграл по формуле трапеций, разделив отрезок на 10 равных частей, и оценить погрешность вычислений. Оценим сначала погрешность метода. Для этого находим вторую производную подынтегральной функции: На отрезке всюду положительна, причем се значение ограничено сверху: < 3,3. Таким образом, ис­пользуя формулу (5.42) , имеем:

0	0
0,1		0,0009983
0,2		0,0079467
0,3		0,0265968
0,4		0,0623068
0,5		0,1198562
0,6		0,2032711
0,7		0,3156668
0,8		0,4591078
0,9		0,6344948
1,0	0,4207355
	0,4207355	1,8302453

Итак, приняв на заданном участке интегрирования , мы сможем получить интеграл от заданной функции с погрешностью, не превышающей 0,003, если будем вести вычисления таким об­разом, чтобы погрешность округления не исказила окончатель­ный результат в пределах точно­сти метода.

Значения подынтегральной функции в узловых точках приведены в табл. 5.3.

В последней строке таблицы получены суммы значений по столбцам. Используя значения этих сумм, в соответствии с формулой трапеций (5.36) имеем:

Учитывая вычисленную рань­ше ошибку , получаем оконча­тельно

В данном случае легко вычислить "точное" значение этого интеграла, пользуясь формулой Ньютона-Лейбница:

Как видим, результат, полученный с помощью приближенной формулы трапеций, в пределах установленной точности вполне соответствует этому значению.