3. Определение количества верных цифр по относительной погрешности приближенного числа.

Количество верных значащих цифр в приближенном числе и величина относительной погрешности этого числа взаимосвязаны. Эта связь со всей очевидностью вытекает уже из того, что по величине х, учитывая формулу (1.6), можно вычислить абсолютную погрешность , которая, как следует из определения верных значащих цифр, явно влияет на их количество в приближенном числе. На практике иногда удобнее пользоваться правилом, устанавливающим взаимосвязь количества верных цифр непосредственно с величиной относительной погрешности. Рассмотрим этот вопрос применительно к приближенному числу х, записанному в форме с плавающей запятой х= , в предположении что мантисса М удовлетворяет условию 0,1 <1. У числа в таком виде первый разряд мантиссы после запятой всегда отличен от нуля (число х в этом случае называют нормализованным). Заметим также, что для числа, записанного в указанной Фоме, справедливо ограничение:

< . (1.7)

Итак, имеются приближенное число х и его относительная погрешность . Нужно установить количество верных в строгом смысле значащих цифр в числе х.

Для каждого известного значения можно подобрать такое наибольшее натуральное n, чтобы имело место неравенство:

(1.8)

Тогда < = < , т.е.

< . (1.9)

Сопоставляя теперь (1.7) и (1.9) и используя определение цифры, верной в строгом смысле, можно сделать вывод, что в мантиссе приближенного числа верны в строгом смысле по крайней мере цифр после запятой (и, стало быть, все эти цифры – значащие). Таким образом, для того, чтобы по заданной величине относительной погрешности найти количество верных значащих цифр в числе , достаточно подобрать наибольшее натуральное такое, чтобы имело место неравенство , а потом полученное значение уменьшить на единицу.

Пример 1.8. Пусть x=984,6; =0,008. Очевидно, что 0,008 . Это означает, что число х имеет по крайней мере одну верную в строгом смысле цифру (это первая слева цифра 9). Полученный результат легко подтвердить, используя определение цифры, верной в строгом смысле. Вычислим: х=984,6·0,008=7,8768, откуда следует, что в числе 984,6 цифра 9 действительно верна в строгом смысле.

Полученное правило в отдельных случаях проявляет завышенную “осторожность” - при выполнении условия (1.8) в числе могут оказаться верными все n цифр. Зависит это от величины первых значащих цифр числа x.

4. Вычисление ошибок арифметических действий.

Рассмотрим формулы для учета распространения ошибок при выполнении основных арифметических действий.

Таблица 1.1.

#

Используя приведенные в таблице 1.1 формулы, можно вести пооперационный учет ошибок арифметических действий на компьютере.

.

5. Оценка погрешностей значений функций.

Вычисления по формулам нередко предполагают нахождение значений различных математических функций. При этом становится актуальным вопрос о методах определения погрешностей значений элементарных функций.

Пусть функция дифференцируема в некоторой окрестности приближенного значения аргумента , а - абсолютная ошибка значения аргумента. Тогда абсолютная ошибка значения функции . Поскольку на практике ошибка обычно мала по сравнению со значением , воспользуемся приближенным равенством: . Заменим на . Это означает, что можно принять

(1.10)

Равенство (1.10) позволяет получить целую серию формул для оценки предельных абсолютных погрешностей значений элементарных функций. Например: . Тогда , или ; и так далее.

Из формулы (1.10) можно сделать важное наблюдение – если значение модуля производной функции в точке меньше единицы, то < , т.е. абсолютная ошибка значения функции оказывается меньше абсолютной ошибки значения аргумента. Если же >1, то значение функции будет иметь ошибку, большую ошибки аргумента.

В таблице 1.2 приведены формулы для вычисления предельных абсолютных погрешностей значений некоторых функций одной переменной.

Таблица 1.2.