Тема 4. Найбільший спільний дільник

№ 13. Варіант 1.

Середній рівень

1. Знайти найменше спільне кратне чисел:

1) а) 3 і 13; б) 5 і 14;

2) а) 7 і 21; б) 6 і 30;

3) а) 6 і 15; б) 9 і 21;

4) а) m = 5  3 і n = 5  7; б) m = 2  3 і n = 2  2  5.

2. Знайти найменше спільне кратне чисел розкладом їх на прості множники:

а) 10 і 42; б) 15 і 50.

3. Яке найменше число метрів тканини повинно бути в сувої, щоб можна було продавати без остачі по 3 м або по 5 м?

Достатній рівень

1. 1) Знайти найменше спільне кратне чисел: а) m = 2³  3  5 і n = 2²  3²; б) 50 і 375.

2) Якої найменшої довжини повинен бути брусок, щоб його можна було розрізати без відходів на частини завдовжки 8 дм або 2 дм.

2. Знайти найменше натуральне число, яке ділиться без остачі на 36, 45 і 50.

3. Знайти спільне кратне чисел 20 і 14, яке більше від 300, але менше від 400.

Високий рівень

1. 1) Знайти найменше спільне кратне чисел 36, 45 і 50.

2) Заготовку можна розрізати без втрати матеріалу на пластини завдовжки 4 см, або 5 см, або 6 см. Яка довжина заготовки, якщо вона більша за 200 см, але менша за 250 см?

2. Знайти значення x, якщо НСД (35; x) = 5 і НСК (35; x) = 210.

3. Знайти найменше натуральне число, яке при діленні на 2, на 3, на 15 і на 20 дає в остачі 1.

№ 14. Варіант 2.

Середній рівень

1. Знайти найменше спільне кратне чисел:

1) а) 2 і 11; б) 5 і 9;

2) а) 5 і 30; б) 8 і 32;

3) а) 8 і 12; б) 6 і 10;

4) а) m = 3  5 і n = 3  7; б) m = 2  3 і n = 3  3  5.

2. Знайти найменше спільне кратне чисел розкладом їх на прості множники:

а) 14 і 20; б) 75 і 50.

3. Яке найменше повинно бути число книг, щоб їх можна розставити порівну на 12 полицях або порівну на 8 полицях?

Достатній рівень

1. 1) Знайти найменше спільне кратне чисел: а) m = 2  3  5² і n = 3²  5; б) 264 і 396.

2) З порту одночасно відпливають в рейс два пароплави. Перший пароплав повертався в порт через 18 днів, а другий через — через 24 дні і після цього відразу відправляються в наступні рейси. Через скільки найменше днів вони знову зустрінуться в порту і скільки при цьому рейсів зробить кожний з них?

2. Знайти найменше натуральне число, яке ділиться без остачі на 6, 8 і 15.

3. Знайти спільне кратне чисел 18 і 20, яке більше від 700, але менше від 800.

Високий рівень

1. 1) Знайти найменше спільне кратне чисел 40, 72 і 90.

2) Яблука, що є в корзині можна порівну розділити або між 10 чоловіками, або між 6 чоловіками, або між 8 чоловіками. Скільки яблук в корзині, якщо їх більше ніж 300, але менше, ніж 400?

2. Знайти значення x, якщо НСД (98; x) = 14 і НСК (98; x) = 362.

3. Знайти найменше натуральне число, яке при діленні на 2, на 3, на 5 і на 7 дає остачу 1.

№ 15. Варіант 3.

Середній рівень

1. Знайти найменше спільне кратне чисел:

1) а) 7 і 13; б) 5 і 6;

2) а) 3 і 36; б) 10 і 40;

3) а) 10 і 15; б) 6 і 14;

4) а) m = 2  3 і n = 2  11; б) m = 2  5 і n = 2  5  5  3.

2. Знайти найменше спільне кратне чисел розкладом їх на прості множники:

а) 34 і 50; б) 50 і 55.

3. Скільки повинно бути найменше груш, щоб їх можна було розділити порівну між 10 чоловіками або 15 чоловіками?

Достатній рівень

1. 1) Знайти найменше спільне кратне чисел: а) m = 2²  3³ і n = 2³  3²  5; б) 50 і 440.

2) Крок Петрика дорівнює 60 см, а Андрыйка 80 см. На якій найменшій відстані вони всі зроблять по цілому числу кроків і скільки кроків зробить при цьому кожний з них?

2. Знайти найменше натуральне число, яке ділиться без остачі на 8, 12 і 15.

3. Знайти спільне кратне чисел 15 і 18, яке більше від 700, але менше від 800.

Високий рівень

1. 1) Знайти найменше спільне кратне чисел 56, 76 і 126.

2) Книги, що є в домашній бібліотеці, можна розставити порівну або на 10 полицях, або на 12 полицях, або на 15 полицях. Скільки книг у бібліотеці, якщо їх більше, ніж 200, але менше ніж 250?

2. Числа a  b — взаємно прості.Довести, що НСД (a; b)  НСК (a; b) = a  b.

3. Знайти найменше натуральне число, яке при діленні на 3, на 5, на 7 і на 15 дає в остачі 2.

№ 16. Варіант 4.

Середній рівень

1. Знайти найменше спільне кратне чисел:

1) а) 5 і 7; б) 7 і 8;

2) а) 11 і 44; б) 9 і 36;

3) а) 12 і 18; б) 9 і 15;

4) а) m = 2  3 і n = 2  11; б) m = 2  17 і n = 2  2  5.

2. Знайти найменше спільне кратне чисел розкладом їх на прості множники:

а) 14 і 12; б) 30 і 55.

3. Один з велосипедистів проїжджає коло за 9 хв, а другий — за 6 хв. Через який найближчий час після старту вони знову зустрінуться на місці старту?

Достатній рівень

1. 1) Знайти найменше спільне кратне чисел: а) m = 2  5² і n = 2²  3  5³; б) 24 і 252.

2) Тривалість кінцевого маршруту одного автобуса 1 год 15 хв, а другого — 1 год. Через який найближчий час після одночасного їх виїзду з автостанції вони знову зустрінуться?

2. Знайти найменше натуральне число, яке ділиться без остачі на 8, 10 і 14.

3. Знайти спільне кратне чисел 14 і 18, яке більше від 600, але менше від 700.

Високий рівень

1. 1) Знайти найменше спільне кратне чисел 24, 75 і 45.

2) Рибу, яку зловили рибалки, можна розкласти на купки або по 8, або по 12, або по 15 штук, причому рибин більше, ніж , але менше, ніж . Скільки рибин зловили рибалки?

2. Число a кратне числу b. Довести, що НСД (a; b)  НСК (a; b) = a  b.

3. Знайти найменше натуральне число, яке при діленні на 5, на 7, на 15 і на 20 дає в остачі 3.