§7.Формулы Виета

Пусть дан многочлен f(x) степени п со старшим коэффициентом 1,

f(x) = xⁿ +c₁x^n-1+…+ c_n-1x¹ +c_n . (1)

В некотором поле разложения содержатся все его корни

a₁,…,a_n-1,a_n . Тогда f(x) обладает следую­щим разложением:

f(x) = (x-a₁)(x-a₂) ... (x-а_n).

Перемножая скобки, стоящие справа, а затем приводя подобные члены и приравнивая полученные коэффициенты соответствующим коэффициентам из (1), мы получим следующие равенства, называемые формулами Виета и выражающие коэффициенты многочлена через его корни:

c₁= -( a₁+…+a_n-1+a_n ) ,

c₂= a₁a₂+a₁a₃+… a₁a_n+a₂ a₃+…+a_n-1a_n ,

c₃= -(a₁a₂a₃+a₁a₂a₄+…a_n-2a_n-1a_n),

…………………………………,

c_n-1= (-1) ^n-1(a₁a_2…a_n-1+a₁a_2…a_n-2a_n+… +a₂a₃ ... a_n),

c_n= (-1) ⁿ(a₁a_2…a_n-1a_n).

Таким образом, в правой части k-ro равенства стоит сумма всевозможных произведений по k корней, взятая со знаком плюс или минус, в зависимости от четности или нечетности k. При n=2 эти формулы превращаются в известную из элемен­тарной алгебры связь между корнями и коэффициентами квадратного многочлена.

§8.Основная теорема алгебры комплексных чисел

Известно, что существуют многочлены с действительными коэффициентами, не имеющие действительных корней; х²+1 – один из таких многочленов. Можно было бы ожидать, что существуют многочлены с комплексными коэффициентами, не имеющие корней даже среди комплексных чисел, особенно если рассматриваются многочлены с любыми комплексными коэффициентами. Если бы это было так, то система комплексных чисел нуждалась бы в дальнейшем расширении. На самом деле справедлива следующая

Основная теорема алгебры комплексных чисел. Всякий многочлен с комплексными коэффициентами, степень которого не меньше единицы, имеет хотя бы один комплексный корень.

Эта теорема является одним из крупнейших достижений всей математики и находит применение в самых различных областях науки. На ней основана, в частности, вся дальнейшая теория мно­гочленов с комплексными коэффициентами, и потому эту теорему назы­вали раньше (иногда называют и теперь) «основной теоремой алгебры». Однако, в действительности основная теорема не является чисто алгебраической. Все ее доказательства, – а их (после Гаусса, впервые доказавшего эту теорему в самом конце XVIII века) было найдено весьма много, – принуждены в большей или меньшей мере использовать так называемые топологические свойства действительных и комплексных чисел, т. е. свойства, связанные с непрерывностью.

Поэтому мы не будем приводить здесь ее доказательства. Краткое доказательство вы встретите позже в теории функций комплексной переменной.

Следствия из основной теоремы

Пусть дан многочлен n-й степени, n1 с комплексными коэффи-циентами:

f(x) = а₀xⁿ +а₁x^n-1+…+ а_n-1x¹ +а_n .

Основная теорема алгебры комплексных чисел позволяет утвер­ждать существование у f(x) комплексного корня с₁. Поэтому многочлен f(x) обладает разложением f(x)=(x- с₁)g(x).

Коэффициенты многочлена g(х) снова являются комплексными числами, и поэтому, если g(x) – ненулевой степени, он обладает комплексным корнем с_2, откуда f(x)=(x-с₁)(x-с₂)y(x).

Продолжая так далее, мы придем после конечного числа шагов к разложению многочлена n-й степени f(x) в произ­ведение n линейных множителей и старшего коэффициента f(x)

f(x) = a₀(x-с₁)(x-с₂) ... (x-с_n). (1)

Тогда с₁,…,c_n – все корни f(x) (ибо больше n их быть не может по следствию теоремы 1 из §6). Так как с_iC , то доказана

Теорема 5. Для всякого многочлена поле С является полем разложения.

Отсюда из следствия 3 теоремы существования корня получаем

Следствие 1. Разложение (1) для многочлена f(x)C[x]\C над полем С единственно (с точностью до порядка сомножителей).

Следствие 2. Каноническое разложения многочлена над полем С имеет вид

, (2)

где ( ) и все различны.

Такое разложение единственно (с точностью до порядка сомножителей). Отсюда получаем

Следствие 3. Всякий многочлен f(x) степени n(n1) с комплексными коэффициентами имеет n комплексных корней (с учетом их кратностей).

Заметим, что наша теорема справедлива и при n = 0, так как многочлен нулевой степени не имеет корней. Эта теорема не- применима лишь к многочлену 0, не имеющему степени и равному нулю при любом значении х.