Глава 4. Аффинные пространства и аффинные преобразования §1. Определение аффинного пространства

В средней школе изучается геометрия плоскости и трехмерного пространства, основные объекты которой – точки и векторы. Наиболее полным и естественным алгебраическим обобщением этой геометрии является понятие аффинного пространства.

Определение 1. Пусть дано линейное пространство над полем и некоторое непустое множество А. Множество А называют аффинным, или точечно-векторным пространством, связанным с линейным пространством , а его элементы точками аффинного пространства, если выполняются следующие аксиомы: 1) каждой упорядоченной паре точек и из множества А поставлен в соответствие единственный вектор из линейного пространства , обозначаемый так: ; 2) (аксиома откладывания) для каждой точки А и каждого вектора существует единственная точка А такая, что (в этом случае будем писать: , т.е. здесь символ того, что мы «откладываем» от точки вектор ); 3) для любых точек , , А выполняется «правило треугольника»: .

Замечание. Линейное пространство , с которым связано аффинное пространство А, называют пространством трансляций аффинного пространства А.

Из аксиом аффинного пространства получается ряд следствий. Укажем только два из них:

1. Для любой точки А . Действительно, для любой точки В имеем: . Поэтому – нулевой вектор.

2. . Из правила треугольника , и потому .

Примеры аффинных пространств

1. Плоскость, прямая и трехмерное пространство из школьной геометрии.

2. Пусть -поле, А ={( ,1)| }, {( ,0)| }. Очевидно, . Элементы множества А назовем точками, а множества – векторами. Если =( ,1), =( ,1) – две точки из А , то полагаем . Нетрудно проверить выполнимость всех аксиом аффинного пространства. А называют -мерным арифметическим аффинным пространством (над полем ).

§2. Система координат в аффинном пространстве

Определение 2. Векторы линейного пространства называют свободными векторами аффинного пространства А. Если линейное пространство является -мерным, то и аффинное пространство А называют -мерным аффинным пространством.

Определение 3. Системой координат, или репером, аффинного пространства А называют набор (1), состоящий из точки А, называемой началом координат, и некоторого базиса (2) линейного пространства .

Определение 4. Координатами вектора в репере (1) называют координаты этого вектора в базисе (2). Координаты вектора будем записывать в фигурных скобках: .

Определение 5. Координатами точки А в репере (1) называют координаты вектора (радиуса-вектора точки) в базисе (2).

Таким образом, координаты точки – это коэффициенты из выражения вектора через базис : =( ) . Координаты точки будем записывать в круглых скобках: ( ).

Если и – две произвольные точки, то ,откуда . Так как , , то .

Как связаны координаты точек в разных реперах? Можно доказать (как в аналитической геометрии), что если

, – координаты точки в двух реперах, тогда , где , а – матрица перехода от старого базиса к новому.

Замечание. Можно ввести понятие изоморфизма аффинных пространств.

Определение 6. Пусть дано взаимно однозначное отображение множества всех точек и векторов аффинного пространства соответственно на множество всех точек и векторов аффинного пространства , которое является изоморфным отображением пространства трансляций аффинного пространства на пространство трансляций аффинного пространства , и удовлетворяющее, кроме того, следующему условию: (v) если при отображении точки и пространства отображаются соответственно на точки и пространства , то и вектор отображается на вектор . Такое отображение называют изоморфным отображением аффинного пространства на аффинное пространство . Пространства и называют изоморфными между собой, если одно из них можно изоморфно отобразить на другое.

Так как изоморфизм между аффинными пространствами включает в себя изоморфизм их пространств трансляций, то, очевидно, всякие два изоморфных аффинных пространства имеют одну и ту же размерность.

Докажем, что и ноаборот, два аффинных пространства над одним полем, имеющие одну и ту же размерность, изоморфны между собой. Этот изоморфизм мы получим, построив изоморфное отображение произвольного -мерного аффинного пространства на арифметическое -мерное пространство . Для этого возьмем в какой-нибудь репер . Тогда каждая точка и каждый вектор пространства имеет единственные координаты в этом репере:

, .

Отображение и , очевидно, есть взаимно однозначное отображение множества всех точек и множества всех векторов пространства соответственно на множество всех точек и всех векторов пространства , удовлетворяющее, очевидно, условию (v). Изоморфизм между любым пространством и пространством , а значит, и между любыми двумя -мерными аффинными пространствами и этим доказан.

Мы доказали следующее утверждение (теорему 1).

Теорема 1. Два конечномерных аффинных пространства с пространством трансляций над одним полем тогда и только тогда изоморфны, когда они имеют одинаковые размерности.