§ 2. Линейная зависимость векторов

Пусть L – линейное пространство над полем P и a₁,a₂,…a_s (1) – некоторое конечное множество векторов из L.

Множество a₁,a₂,…a_s будем называть системой векторов.

Если b = α₁a₁+α₂a₂+…+α_sa_s, (α_iP), то говорят, что вектор b линейно выражается через систему (1), или является линейной комбинацией векторов системы (1).

Как и в аналитической геометрии, в линейном пространстве можно ввести понятия линейно зависимых и линейно независимых систем векторов. Сделаем это двумя способами.

Определение I. Конечная система векторов (1) при s2 называется линейно зависимой, если хотя бы один ее вектор является линейной комбинацией остальных. В противном случае (т.е. когда ни один ее вектор не является линейной комбинацией остальных), она называется линейно независимой.

Определение II. Конечная система векторов (1) называется линейно зависимой, если существует набор чисел α₁,α₂,…,α_s, α_iP, хотя бы одно из которых не равно 0 (такой набор называют ненулевым), что выполняется равенство: α₁a₁+…+α_sa_s=0 (2).

Из определения II можно получить несколько равносильных определений линейно независимой системы:

Определение 2.

a) система (1) линейно независима, если из (2) следует, что α₁=…=α_s=0.

b) система (1) линейно независима, если равенство (2) выполняется только при всех α_i=0 (i=1,…,s).

c) система (1) линейно независима, если любая нетривиальная линейная комбинация векторов этой системы отлична от 0, т.е. если β₁, …,βs – любой ненулевой набор чисел, то β₁a₁+…β_sa_s0.

Теорема 1. При s2 определения линейной зависимости I и II равносильны.

Доказательство.

I) Пусть (1) линейно зависима по определению I. Тогда можно считать, не нарушая общности, что a_s=α₁a₁+…+α_s-1a_s-1. Прибавим к обеим частям этого равенства вектор (-a_s). Получим:

0= α₁a₁+…+α_s-1a_s-1+(-1)a_s (3) (так как по следствию 5

(–a_s) =(-1)a_s). В равенстве (3) коэффициент (-1)0, и потому система (1) линейно зависима и по определению II.

II) Пусть система (1) линейно зависима по определению II, т.е. существует ненулевой набор α₁,…,α_s, что выполняется (2). Не нарушая общности, можно считать, что α_s0. В (2) к обеим частям прибавим (-α_sa_s). Получим:

α₁a₁+α₂a₂+…+α_sa_s- α_sa_s= -α_sa_s, откуда α₁a₁+…+α_s-1a_s-1= -α_sa_s. (4)

Т.к. α_s0, то существует α_s^-1P. Умножим обе части равенства (4) на (-α_s^-1) и воспользуемся некоторыми аксиомами линейного пространства. Получаем:

(-α_s^-1)(-α_sa_s)= (-α_s^-1)( α₁a₁+…+α_s-1a_s-1), откуда следует:

(-α_s^-1α₁)a₁+…+(-α_s^-1)α_s-1a_s-1=a_s.

Введем обозначения β₁= -α_s^-1α₁,…, β_s-1=(-α_s^-1)α_s-1. Тогда полученное выше равенство перепишется в виде:

a_s= β₁a₁+…+ β_s-1a_s-1.

Так как s2, то в правой части будет хотя бы один вектор a_i. Мы получили, что система (1) линейно зависима по определению I.

Теорема доказана.

В силу теоремы 1 при необходимости при s2 мы можем применять любое из данных выше определений линейной зависимости.

Замечание 1. Если система состоит только из одного вектора а₁, то к ней применимо только определение II.

Пусть а₁=0; тогда 1а₁=0. Т.к. 10, то а₁=0  линейно зависимая система.

Пусть а₁0; тогда α₁а₁≠0, при любом α₁0. Значит, ненулевой вектор а₁ – линейно независимая система.

Существуют важные связи между линейной зависимостью системы векторов и ее подсистем.

Теорема 2. Если некоторая подсистема (т.е. часть) конечной системы векторов линейно зависима, то и вся система линейно зависима.

Доказательство этой теоремы нетрудно провести самостоятельно. Его можно найти в любом учебнике по алгебре или аналитической геометрии.

Следствие 1. Все подсистемы линейно независимой системы линейно независимы.

Получается из теоремы 2 методом от противного.

Замечание 2. Нетрудно видеть, что у линейно зависимых систем подсистемы могут быть как линейно зависимые, так и линейно независимые.

Пример. На рис.1 a₁, a₂, a₃  линейно зависимая система.

a₁, a₂ ее линейно зависимая подсистема, Рис.1

a₁, a₃  ее линейно независимая подсистема.

Рис. 1

Следствие 2. Если система содержит 0 или два пропорциональных (равных) вектора, то она линейно зависима (так как подсистема из 0 или двух пропорциональных векторов линейно зависима).