Следствия из теоремы о базисном миноре

Следствие 1. Ранг матрицы равен порядку ее базисного минора.

Доказательство. Пусть в матрице А существует базисный минор порядка k. По теореме о базисном миноре столбцы этой матрицы, проходящие через данный минор (а их ровно k), составляют базис системы всех столбцов матрицы А. Тогда по определению ранга матрицы ранг А равен k.

Следствие доказано.

Замечание 2. Следствие 1 используется для практического нахождения ранга матрицы с помощью определителей.

Следствие 2. Максимальное число линейно независимых строк матрицы А равно максимальному числу ее линейно независимых столбцов и равно рангу матрицы А.

Доказательство. Базисный минор М матрицы А квадратный, и потому, по теореме о базисном миноре, максимальное число линейно независимых строк матрицы А равно максимальному числу ее линейно независимых столбцов и равно порядку М, т.е., по следствию 1, рангу матрицы А.

Следствие доказано.

Следствие 3. Если в матрице число строк больше числа столбцов, то ее строки линейно зависимы (аналогично и для столбцов).

Доказательство. Обозначим число строк матрицы А через n, число столбцов через m, ранг матрицы А  через r. Отметим, что так как

n > m, то в матрице А миноров порядка, большего m, не существует, и по следствию 1, r  m, откуда r<n. Значит, в силу следствия 2 максимальное число линейно независимых строк А меньше числа ее строк, а потому строки А линейно зависимы.

Следствие доказано.

Определение 4. Пусть в матрице А существует отличный от нуля минор М k-го порядка, а все миноры матрицы А, порядки которых больше k, равны нулю, или таких миноров в А нет. Тогда число k называют наивысшим порядком отличных от нуля миноров матрицы А.

Следствие 4 (теорема о ранге матрицы). Наивысший порядок отличных от нуля миноров матрицы А равен рангу этой матрицы.

Доказательство. Пусть k – наивысший порядок отличных от нуля миноров матрицы А и М – ее отличный от нуля минор k-го порядка, о котором говорится в определении 4. Нетрудно видеть, что М – базисный минор матрицы А (так как все миноры (k+1)-го порядка, окаймляющие М, если они существуют, должны быть равны нулю). По теореме о базисном миноре ранг А равен k.

Следствие доказано.

Замечание 3. В некоторых учебниках (например, в [1]) вместо теоремы о базисном миноре формулируется теорема о ранге матрицы (следствие 4), но доказательство приводится такое же, как выше в теореме о базисном миноре (приведенное выше доказательство и взято из [1]). Но при таком подходе в доказательстве используется меньше условий, чем те, которые приводятся в теореме о ранге матрицы (нам не нужно использовать равенство нулю всех миноров порядков, больших k, а только некоторых (окаймляющих М) миноров (k +1)-го порядка)

Следствие 5. (необходимый признак равенства определителя нулю). Если определитель d матрицы А равен нулю, то его строки (столбцы) линейно зависимы.

Доказательство. Пусть матрица А имеет порядок n. Так как d=|A|=0, то наивысший порядок не равных нулю миноров матрицы А меньше n. Тогда по следствию 4 ранг А меньше n. По определению ранга матрицы максимальное число линейно независимых столбцов матрицы А меньше n, а это означает, что столбцы d линейно зависимы. Теперь из следствия 2 вытекает и линейная зависимость строк определителя d (ибо матрица А квадратная).

Следствие доказано.

Следствие 6 (необходимое и достаточное условия равенства определителя нулю). Определитель равен нулю тогда и только тогда, когда его строки (столбцы) линейно зависимы.

Необходимость доказана в следствии 5; достаточность доказана ранее в свойстве 4 определителей (гл.4 §2).