Применение ранга матрицы для решения вопросов о линейной зависимости в пространстве p(n)

Пусть в P⁽ⁿ⁾ задана система k векторов: а₁=(₁₁,…,_n1)^Т,…, a_k=(_1k,…,_nk)^T (8). Чтобы узнать, будет ли она линейно зависимой или нет, и найти ее базис, можно поступить так:

1. Составим из векторов-столбцов (8) матрицу

₁₁………_1k

……………

_n1………_nk

А=

.

2. Найдем базисный минор М этой матрицы. Пусть его порядок равен r. Если r<k, то система векторов (8) линейно зависима – в силу следствий 1 и 2 из теоремы о базисном миноре (ибо ранг А равен r). Если r = k, то (8) линейно независима.

3. Базисом системы (8) будут столбцы А, проходящие через базисный минор М – по теореме о базисном миноре.

Применение ранга матрицы к решению вопроса о линейной зависимости векторов в конечномерном линейном пространстве

Пусть L – n-мерное линейное пространство над Р. Тогда в L существует базис e₁,e₂,…,e_n (9). Рассмотрим в пространстве L систему векторов l₁,l₂,…,l_k (10). Требуется определить, является ли система (10) линейно зависимой или линейно независимой, и найти хотя бы один ее базис. Используем то, что по теореме 4 из § 7 главы 8 L изоморфно P⁽ⁿ⁾ (т.е. существует изоморфизм :LP⁽ⁿ⁾).

Из свойств изоморфизма известно, что при изоморфизме сохраняется линейная зависимость (линейная независимость) векторов, свойство быть базисом. Напомним, что по теореме 4 изоморфизм  можно построить так: каждому вектору bL ставится в соответствие его координатный столбец в базисе (9). Пусть [l₁],…,[l_k] (11)  система координатных столбцов векторов (10) в этом базисе. Теперь с помощью ранга матрицы составленной из этих столбцов (как указано выше), мы можем узнать, будет ли система (11) линейно зависимой или линейно независимой и найти ее базис. Тем самым все эти вопросы решаются и для системы (10).

§ 2. Системы линейных уравнений

Определение 5. Решением (или частным решением) системы линейных уравнений с n неизвестными над полем P называется упорядоченный набор n элементов поля Р (или некоторого его расширения), при подстановке которых вместо соответствующих неизвестных каждое уравнение этой системы обращается в тождество.

Отметим, что решение системы с n неизвестными — это n-мерный вектор- строка.

Определение 6. Общим решением системы линейных уравнений с n неизвестными называется упорядоченный набор n выражений, зависящих от произвольных постоянных, удовлетворяющий двум условиям:

1. При подстановке этих выражений вместо соответствующих неизвестных каждое уравнение системы обращается в тождество.

2. Любое решение системы получается из этого набора при некоторых значениях произвольных постоянных.

В настоящем параграфе рассматривается метод решения систем линейных уравнений, связанный с использованием ранга матрицы.

Критерий совместности системы линейных уравнений

Пусть

a₁₁x₁+…+a_1nx_n=b₁

………………….. (1) – система линейных уравнений над

полем Р,

a_m1x₁+…+a_mnx_n=b_m т.е. a_ij, b_j P.

Матрицу А= будем называть матрицей

системы (1).

Матрицу А = назовем расширенной

b_m матрицей системы (1).

Теорема Кронекера – Капелли. Система (1) совместна тогда и только тогда, когда матрицы и имеют одинаковые ранги.

Необходимость. Пусть система (1) совместна. Столбцы матриц и будем рассматривать как m-мерные векторы-столбцы. Обозначим систему столбцов матрицы через c₁,…c_n (2), матрицы – через c₁,…c_n, b (3) (здесь b – столбец свободных членов). Если докажем, что системы векторов (2) и (3) эквивалентны, то отсюда будет следовать, что их ранги равны.

Каждый вектор c_i из (2) содержится в (3) и потому c_i=0c₁+0c₂+…+1c_i+…+0c_n для любого i. Это означает, что система (2) линейно выражается через систему (3).

Докажем, что система (3) линейно выражается через систему (2). Так как все векторы, кроме b, в этих системах одинаковы, то, в силу отмеченного выше равенства, достаточно доказать, что вектор b линейно выражается через (2). По условию система линейных уравнений (1) имеет решение (k₁,k₁,…,k_n), k_iP, т.е. справедливы тождества:

a₁₁k₁+…+a_1nk_n=b₁

…………………..

(4)

a_m1k₁+…+a_mnk_n=b_m

Из (4) следует, что b=k₁c₁+…+k_nc_n. Это значит, что вектор b линейно выражается через (2), т.е. (3) линейно выражается через (2).

Этим доказано, что системы (2) и (3) эквивалентны. Так как конечные эквивалентные системы векторов имеют одинаковые ранги (по следствию 4 из основной теоремы о линейной зависимости), то ранг системы (2) равен рангу системы (3). Это означает, что ранг матрицы равен рангу матрицы .

Необходимость доказана.

Достаточность. Пусть ранги матрицы и совпадают и равны r. Нужно доказать, что система уравнений (1) совместна.

Выберем в системе векторов (2) некоторый базис c_i1,…,c_ir (5). Векторы (5) содержатся в системе (3) и составляют линейно независимую подсистему из r векторов. Так как в силу условия ранг системы (5) также равен r, то (5) будет базисом и системы (3).

Вектор b можно линейно выразить через этот базис, а тогда b линейно выражается и через всю систему (2) (векторы, не входящие в (5), можно добавить в выражение для b с нулевыми коэффициентами).

Мы доказали, что существуют числа k₁,k₂,…,k_n (6) из поля Р такие, что b=k₁c₁+…+k_nc_n (7). Равенство (7) означает, что набор (6) — это решение системы уравнений (1), и потому система (1) совместна.

Теорема доказана.

Определение 7. Рангом совместной системы линейных уравнений называют ранг матрицы этой системы.

Замечание 1. Нетрудно видеть, что для вычисления ранга матрицы достаточно рассмотреть базисный минор М матрицы А и окаймлять его в матрице только столбцом свободных членов и всеми строками этой матрицы.

Замечание 2. Нетрудно видеть, что если , то .

Замечание 3. Отметим, что из способа доказательства теоремы Кронекера – Капелли видно, что если система уравнений (1) совместна и r<n, то эта система имеет решение, в котором (n-r) неизвестных равны 0.