Глава 2. Отображения множеств §1. Основные определения

Определение. Пусть А и В – два множества. Говорят, что задано отображение f множества А в В, если указан закон, по которому любому элементу а из А ставится в соответствие единственный элемент b из множества В:

Отображения также называют функциями.

Будем использовать следующие обозначения:

: А В. Отображение f множество А переводит в В;

f

А В. Множество А отображается в В при отображении f.

Если элемент а при отображении f переходит в элемент b, то пишут f(a)=b (левая запись) или af=b (правая запись). Элемент b называется образом элемента а при отображении f; элемент а – прообразом b при этом отображении. Множество – образ множества А при отображении f. Отметим, что .

А – область определения отображения f; В – область значений отображения f (иногда –например, в школьной математике – областью значений считается f(A), но мы будем ею считать В).

Отметим, что мы рассматриваем только однозначные отображения.

Из всех отображений особо выделяют следующие виды:

1. Сюръекция (отображение «на») – это отображение такое, что . При сюръекции у каждого элемента из множества В существует хотя бы один прообраз.

2. Инъекция – отображение, при котором разные элементы переходят в разные, т.е. если и , то .

f(a)

3. Биекция, или взаимно однозначное отображение – это отображение, которое одновременно является инъекцией и сюръекцией.

Примеры отображений:.

1. Пусть А – любое множество и В – множество, состоящее из одного элемента, т.е. B={b}. Отображение является сюръекцией, т.к. f(A)=B.

2. Пусть множество А – некоторый отрезок на плоскости, множество В – прямая. Из каждой точки отрезка А опустим перпендикуляр на прямую В и основания этих перпендикуляров поставим в соответствие точкам отрезка А.

Обозначим это отображение через φ. Очевидно,

Следовательно, отображение φ – инъекция (но не является сюръекцией).

3. Пусть множество А – гипотенуза прямоугольного треугольника, а В – его катет. Любой точке гипотенузы поставим в соответствие её проекцию на катет. Получим взаимно однозначное отображение А на В:

т.е. f – биекция.

Отметим, что именно так в математике доказывается, что «количество» точек на гипотенузе и катете одинаково (точнее, эти множества имеют одинаковую мощность).

Замечание. Нетрудно придумать отображение, которое не является ни сюръекцией, ни инъекцией, ни биекцией.

4. Если f – любая функция действительного переменного, то f – отображение R в R.

§2. Умножение отображений

Пусть А, В, С – три множества и заданы два отображения

и .

Определение 1. Произведением этих отображений называется отображение, которое получается в результате последовательного их выполнения.

Возможны два варианта записи.

1. Левая запись.

(a)=b, (b)=c.

Тогда произведение f и φ будет переводить а в с, его следует обозначить : , (см. выше рисунок).

По определению , т.е. произведение отображений – это сложная функция, заданная на А.