Глава 9. Ранг матрицы и системы линейных уравнений § 1. Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре

Пусть Р – некоторое поле. В этой главе и элементы поля Р, и векторы линейного пространства мы будем обозначать латинскими буквами.

Рассмотрим произвольную прямоугольную матрицу nm с элементами из этого поля:

А=

.

Столбцы этой матрицы А можно рассматривать как n-мерные векторы-столбцы с_i=(a_1i, …, a_ni)^т , т.е. как элементы n-мерного пространства векторов- столбцов P⁽ⁿ⁾ над полем Р (с_iP⁽ⁿ⁾, i=1,…,m).

Определение 1. Рангом матрицы А назовем ранг системы ее столбцов с₁, с₂,…,с_m (1), рассматриваемых как n-мерные векторы-столбцы.

Другими словами, ранг матрицы – это максимальное число ее линейно независимых столбцов.

Если в системе (1) нет базисов, т.е. она состоит только из нулевых векторов, то по определению считаем, что ранг матрицы А равен нулю.

Один из способов нахождения ранга матрицы связан с понятием базисного минора.

Определение 2. Пусть в матрице А существует минор М к-го порядка, удовлетворяющий следующим условиям:

1. М0;

2. все миноры (к+1)-го порядка матрицы А, содержащие М (назовем их минорами, окаймляющими М), равны 0, либо таких миноров в А нет.

Тогда минор М назовем базисным минором матрицы А.

Замечание 1. Нетрудно доказать, что если в А хотя бы один элемент a_ij0, то в такой матрице всегда существует базисный минор.

Определение 3. Пусть М – базисный минор матрицы А. Столбцы (строки) этой матрицы, проходящие через минор М, называются базисными столбцами (строками) матрицы А.

Теорема о базисном миноре. Базисные столбцы (строки) матрицы А составляют базис системы всех ее столбцов (строк).

Доказательство. Будем доказывать теорему только для столбцов; для строк доказывается аналогично.

Далее, будем считать, что базисный минор М k-го порядка находится в верхнем левом углу матрицы А (как мы увидим ниже из способа доказательства, при произвольном расположении минора М можно доказывать аналогично).

И так, в рассматриваемом нами случае матрица А имеет следующий вид (сверху записаны обозначения ее столбцов, рассматриваемых как n-мерные векторы-столбцы):

с₁,..,с_k,..,c_s,..c_m

А=

.

Покажем, что базисные столбцы с₁, …, с_к (2) матрицы А составляют базис системы с_i, …,с_m (1) всех столбцов этой матрицы, т.е. (2) – максимальная линейно независимая подсистема системы (1).

Для доказательства воспользуемся теоремой 3 из §3 главы 8 о максимальных линейно независимых подсистемах. В силу этой теоремы, нам надо доказать:

I. подсистема (2) линейно независима;

II. любой столбец с_s матрицы А линейно выражается через (2).

Докажем I. Предположим, что (2) линейно зависима, например с_k – линейная комбинация с₁,…, с_k-1 (3) (это не нарушает общности). Тогда каждая компонента вектора с_к есть линейная комбинация соответствующих компонент векторов (3). Если записать эти равенства для первых k компонент векторов (2), то из них следует, что k-ый столбец минора М является линейной комбинацией остальных столбцов этого минора. Тогда М=0 (по свойству определителей), а это противоречит тому, что М – базисный минор матрицы А. Значит, наше предположение неверно и (2) – линейно независимая система.

Докажем II. Рассмотрим следующие вспомогательные определители:

a₁₁… a_1k a_1s

…………

a_k1 ... a_kk a_ks

а_i1 … a_ik a_is

Эти определители составляем для

фиксированного s, большего k, и для

каждого i =1,2,…, n.

i=

.

Если 1 i k, то определитель _i содержит две одинаковые строки и потому равен нулю. Если i>k, то _i – минор (k+1) порядка матрицы А, окаймляющий базисный минор М. Тогда по определению базисного минора _i=0. Таким образом, мы доказали, что _i=0 (4) при любом

i =1,2,…, n.

Разложим определители _i по его (k+1)-ой (последней) строке. Учитывая равенство (4) и то, что алгебраические дополнения элементов этой строки в определителе _i не зависят от номера i, получаем: _i=a_i1A₁+…+a_ikA_k+a_isM=0 (5). Мы учли, что алгебраическим дополнением элемента a_is в _i является (-1)^(k+1)+(k+1)М=М.

Из равенства (5), учитывая, что М≠0, получаем:

a_is=(-A₁/M)a_i1+…+(-A_k/M)a_ik.

Введем обозначения: t_j=-A_j/M (6), j=1,…,k. Тогда имеем:

a_is = t₁ a_i1 +…+ t_k a_ik . (7)

Заметим, что числа t₁,…,t_k не зависят от номера i, так как А₁,…,А_k не зависят от i.

Придавая в (7) индексу i всевозможные значения 1, 2,…, n, получим равенства:

а_ls=t₁а₁₁+…+t_kа_1k,

……………….,

а_ns=t₁а_n1+…+t_kа_nk .

Из них вытекает векторное равенство: с_s=t₁с₁+…+t_kс_k. Утверждение II доказано.

Таким образом, мы доказали, что (2) – базис системы (1).

Теорема доказана.