Следствия из основной теоремы о линейной зависимости для конечномерных линейных пространств

Наряду со следствиями из основной теоремы о линейной зависимости 1–4, из этой теоремы можно получить еще несколько важных утверждений.

Следствие 5. Любые два базиса конечномерного линейного пространства состоят из одинакового числа векторов.

Это утверждение – частный случай следствия 2 из основной теоремы о линейной зависимости, примененного ко всему линейному пространству.

Определение 8. Число векторов в произвольном базисе конечномерного линейного пространства L называют размерностью этого пространства и обозначают dim L.

В силу следствия 5 всякое конечномерное линейное пространство имеет единственную размерность.

Определение 9. Если линейное пространство L имеет размерность n, то его называют n-мерным линейным пространством.

Примеры:

1. dim R₁=1;

2. dimR₂=2;

3. dimP⁽ⁿ⁾=n, т.е. P⁽ⁿ⁾ – n–мерное линейное пространство, т.к. выше, в примере 2 показано, что (1) – базис P⁽ⁿ⁾;

4. dimP_n[x]=(n+1), ибо, как нетрудно проверить, 1,x,x²,…,xⁿ  базис из n+1 векторов этого пространства;

5. dimM_n(P)=n², ибо матриц вида E_ij, указанных в примере 4, ровно n².

Следствие 6. В n-мерном линейном пространстве L любые n+1 векторов a₁,a₂,…,a_n+1 (3) составляют линейно зависимую систему.

Доказательство. По определению размерности пространства в L существует базис из n векторов: e₁,e₂,…,e_n (4). Рассмотрим пару систем (3) и (4).

Предположим, что (3) линейно независима. Т.к. (4) – базис L, то любой вектор пространства L линейно выражается через (4) (по теореме 3 из §3). В частности, система (3) линейно выражается через (4). По предположению (3) линейно независима; тогда к паре систем (3) и (4) можно применить основную теорему о линейной зависимости. Получаем: n+1n, что невозможно. Противоречие доказывает, что (3) линейно зависима.

Следствие доказано.

Замечание 1. Из следствия 6 и теоремы 2 из §2 получаем, что в n-мерном линейном пространстве любая конечная система векторов, содержащая больше n векторов, линейно зависима.

Из этого замечания вытекает

Следствие 7. В n-мерном линейном пространстве любая линейно независимая система содержит не более n векторов.

Замечание 2. С помощью этого утверждения можно установить, что некоторые линейные пространства не являются конечномерными.

Пример. Рассмотрим пространство многочленов P[x] и докажем, что оно не является конечномерным. Предположим, что dim P[x]=m, mN. Рассмотрим 1, x,…, x^m – множество из (m+1) векторов из P[x]. Эта система векторов, как отмечено выше, линейно независима, что противоречит предположению, что размерность P[x] равна m.

Нетрудно проверить (используя P[x]), что конечномерными линейными пространствами не являются пространства всех функций действительной переменной, пространства непрерывных функций и т.д.

Следствие 8. Любую конечную линейно независимую систему векторов a₁, a₂,…,a_k (5) конечномерного линейного пространства L можно дополнить до базиса этого пространства.

Доказательство. Пусть n=dim L. Рассмотрим два возможных случая.

1. Если k=n, тогда a₁, a₂,…,a_k – линейно независимая система из n векторов. В силу следствия 7, для любого bL система a₁, a₂,…,a_k, b линейно зависима, т.е. (5) – базис L.

2. Пусть kn. Тогда система (5) не является базисом L, а значит, существует вектор a_k+1L, что a₁, a₂,…,a_k, a_k+1 (6)  линейно независимая система. Если (k+1)<n, то также приписываем a_k+2, и так далее.

В силу следствия 7 этот процесс заканчивается через конечное число шагов. Получаем базис a₁, a₂,…,a_k, a_k+1,…,a_n линейного пространства L, содержащий (5).

Следствие доказано.

Из следствия 8 вытекает

Следствие 9. Любой ненулевой вектор конечномерного линейного пространства L содержится в некотором базисе L (т.к. такой вектор является линейно независимой системой).

Отсюда следует, если Р – бесконечное поле, то в конечномерном линейном пространстве над полем Р существует бесконечно много базисов (т.к. в L бесконечно много векторов вида a, a0, P\0).