Связь координат вектора а в разных базисах

Пусть в линейном пространстве L_n заданы базисы е=(е₁, … е_n) и e`=(e<sub>1</sub>`,…,e`<sub>n</sub>) с матрицей перехода Т от базиса е к базису е`, т.е. верно (2). Вектор а имеет в базисах е и е` координаты [a]<sub>e</sub>=(<sub>1</sub>,…, <sub>n</sub>)<sup>T</sup> и [a]<sub>e`</sub>=(₁`,…, <sub>n</sub>`)^T, т.е. a=e[a]_e и a=e`[a]<sub>e`</sub>.

Тогда, с одной стороны, a=e[a]_e, а с другой  a=e`[a]<sub>e`</sub>=(eT)[a]_{e`</sub>=e(T[a]<sub>e`}) (мы использовали равенство (2)).

Из этих равенств получим: a=e[a]_e=e(T[a]_{e`</sub>). Отсюда в силу единственности разложения вектора по базису е вытекает равенство [a]<sub>e</sub>=Т[a]<sub>e`} (3), или

₁ ₁^`

₂ ₂`

… = T … (4)

_n _n` .

Соотношения (3) и (4) называют формулами преобразования координат при изменении базиса линейного пространства. Они выражают старые координаты вектора через новые. Эти формулы можно разрешить относительно новых координат вектора, умножив (4) слева на Т^-1 (такая матрица существует, так как Т  невырожденная матрица).

Тогда получим: [a]<sub>e`</sub>=T<sup>-1</sup>[a]<sub>e</sub>. По этой формуле, зная координаты вектора в старом базисе е линейного пространства L<sub>n</sub>, можно найти его координаты в новом базисе, e`.

§ 9. Подпространства линейного пространства

Определение 13. Пусть L – линейное пространство над полем Р и HL. Если H также является линейным пространством над Р относительно тех же операций, что и L, то H называют подпространством линейного пространства L.

Утверждение 1. Подмножество Н линейного пространства L над полем Р является подпространством L, если выполняются следующие условия:

1. h₁+h₂H для любых h₁, h₂H;

2. hH для любого hH и P.

Доказательство. Если в Н выполняются условия 1 и 2, то в Н заданы сложение и умножение на элементы поля Р. Выполнимость большинства аксиом линейного пространства для Н следует из их справедливости для L. Проверим некоторые из них:

а) 0h=0H (в силу условия 2);

b) hH имеем: (-h)=(-1)hH (в силу условия 2).

Утверждение доказано.

Примеры:

1. Подпространствами любого линейного пространства L являются 0 и L.

2. R₁– подпространство пространства R₂ векторов-отрезков на плоскости.

3. Пространство функций действительной переменной имеет, в частности, следующие подпространства:

а) линейных функций вида ax+b;

б) непрерывных функций;

в) дифференцируемых функций.

Один универсальный способ выделения подпространств любого линейного пространства связан с понятием линейной оболочки.

Определение 14. Пусть a₁,…a_s (1) – произвольная конечная система векторов линейного пространства L. Назовем линейной оболочкой этой системы множество {₁a₁+…+_sa_s |_iP} = <a₁,…,a_s>. Линейную оболочку системы (1) обозначают также L(a₁,…,a_s).

Теорема 8. Линейная оболочка Н любой конечной системы векторов (1) линейного пространства L является конечномерным подпространством линейного пространства L. Базис системы (1) является и базисом Н, и размерность Н равна рангу системы (1).

Доказательство. Пусть Н=<a₁,….,a_s>. Из определения линейной оболочки легко следует выполнимость условий 1 и 2 утверждения 1. В силу этого утверждения, Н – подпространство линейного пространства L. Пусть a_i1,….,a_ir (2) – базис системы (1). Тогда имеем: любой вектор hH линейно выражается через (1) – по определению линейной оболочки, а (1) линейно выражается через свой базис (2). Так как (2) – линейно независимая система, то она является базисом Н. Но число векторов в (2) равно рангу системы (1). Значит, dimH=r.

Теорема доказана.

Замечание 1. Если Н – конечномерное подпространство линейного пространства L и h₁,…,h_m – базис Н, то легко видеть, что H=<h₁,..,h_m>. Значит, линейные оболочки – это универсальный способ построения конечномерных подпространств линейных пространств.

Определение 15. Пусть А и В – два подпространства линейного пространства L над полем Р. Назовем их суммой А+В следующее множество: А+В={a+b| aA, bB}.

Пример. R₂ является суммой подпространств OX (векторы оси OX) и OY.

Легко доказать следующее

Утверждение 2. Сумма и пересечение двух подпространств линейного пространства L являются подпространствами L (достаточно проверить выполнимость условий 1 и 2 утверждения 1).

Справедлива

Теорема 9. Если А и В – два конечномерных подпространства линейного пространства L, то dim(A+B)=dimA+ dimB–dim AB.

Доказательство этой теоремы можно посмотреть, например, в [1].

Замечание 2. Пусть А и В – два конечномерных подпространства линейного пространства L. Для нахождения их суммы А+В удобно использовать задание А и В линейными оболочками. Пусть А=<a₁,…,a_m>, В=<b₁,…,b_s>. Тогда нетрудно показать, что А+В= <a₁,…,a_m, b₁,…,b_s>. Размерность А+В по доказанной выше теореме 7 равна рангу системы a₁,…,a_m, b₁,…,b_s. Поэтому, если найти базис этой системы, то найдем и dim (A+B).