Невырожденные линейные преобразования

Определение 14. Линейное преобразование  конечномерного линейного пространства L называется невырожденным, если оно удовлетворяет любому из следующих условий, равносильность которых нетрудно вытекает из доказанных выше теорем:

1. Ранг преобразования  равен n;

2. Областью значений  служит все пространство L (т.е. (L)=L);

3. Дефект преобразования  равен нулю.

Для невырожденных линейных преобразований можно указать и ряд других равносильных условий, в частности, приводимые ниже 4-6.

4. Различные векторы пространства L имеют при преобразовании  различные образы.

Действительно, если преобразование  обладает свойством 4, то ядро этого преобразования состоит лишь из нулевого вектора , т.е. выполняется свойство 3. Если же векторы а и b таковы, что a≠b, но (а)=(b), то a-b≠0, но (a-b)=0, т.е. свойство 3 не выполняется.

Из 2 и 4 вытекает

5. Преобразование  является взаимно однозначным отображением L на себя.

Из 5 следует, что для невырожденного линейного преобразования  существует обратное преобразование ^-1, переводящее всякий вектор (а) в вектор а: ^-1((а))=а.

Преобразование ^-1 будет линейным, так как ^-1((а)+(b))=

^-1[(a+b)]=(a+b), ^-1[((a))]=^-1[(a)]=a.

Из определения преобразования ^-1 вытекает, что ^-1= (4), где  тождественное преобразование. Равенство (4) можно рассматривать, как определение обратного преобразования. Отсюда и из доказанного выше следует, что если невырожденное линейное преобразование  задается в некотором базисе матрицей А, невырожденной ввиду свойства 1, то преобразование ^-1 задается в этом же базисе матрицей А^-1. Поэтому из 5 вытекает

6. Для линейного преобразования  существует обратное линейное преобразование ^-1.

Так как из 6 следует 1, то все условия 1-6 равносильны.

§ 6. Собственные значения и собственные векторы линейного преобразования

Пусть А – квадратная матрица n-го порядка, А=(a_ij).

Определение 15. Матрицу

А-Е=

,

где числа a_ij  элементы поля Р и  – переменная, называют характеристической матрицей матрицы А. Ее определитель

()=|A-E| представляет собой многочлен от переменной  степени n. Этот многочлен называют характеристическим многочленом матрицы А.

Характеристический многочлен матрицы А порядка n имеет вид:

()= р₀ⁿ+p₁^n-1+…+p_n.

Нетрудно проверить, что p₀=(-1)ⁿ, p₁=(-1)^n-1(a₁₁+a₂₂+…+a_nn),…, p_n=|A| (ибо p_n = (0)).

Определение 16. Корни характеристического многочлена |A-E| называют характеристическими корнями матрицы А.

Заметим, что характеристические корни матрицы А могут и не принадлежать полю Р, но всегда существуют в некотором расширении поля Р (и все они находятся в поле разложения многочлена ()).

Определение 17. Множество всех характеристических корней матрицы A, в котором каждый корень повторяется столько раз, какова его кратность, называют спектром матрицы А.

В соответствии с формулами Виета коэффициенты характеристического многочлена связаны с его корнями ₁, ₂, .., _n следующим образом:

p₁=₁+…+_n,

p₂=₁₂+₁₃+…+_n-1_n,

…………,

p_n=₁₂…_n.

Из этих формул, и отмеченного выше вида коэффициентов p₁,…, p_n в частности, вытекают часто применяемые соотношения:

₁+…+_n=a₁₁+a₂₂+…+a_nn, ₁₂…_n=|A|.

Согласно последнему равенству характеристический многочлен матрицы имеет нулевой характеристический корень тогда и только тогда, когда определитель матрицы равен нулю, т.е. эта матрица вырожденная.

Лемма. Характеристические многочлены подобных матриц одинаковы.

Доказательство. Пусть A=Q^-1BQ. Тогда, учитывая, что матрица E перестановочна с любой матрицей и |Q^-1|=|Q|^-1, имеем:

|A-E|=|Q^-1BQ-E|=|Q^-1BQ-Q^-1QE|=|Q^-1BQ-Q^-1EQ|=|Q^-1(B-E)Q|= |Q|^-1|B-E||Q|=|B-E|.

Лемма доказана.

Так как матрица линейного преобразования в разных базисах подобны, то из леммы вытекает

Следствие. Матрицы линейного преобразования  в разных базисах конечномерного линейного пространства имеют один и тот же набор характеристических корней.

Поэтому эти корни можно назвать характеристическими корнями преобразования .

Определение 18. Спектр матрицы линейного преобразования  в любом базисе называется спектром линейного преобразования .

С понятием характеристического корня линейного преобразования  тесно связано приводимое ниже понятие собственного значения .

Определение 19. Пусть  – линейное преобразование линейного пространства L над полем Р. Ненулевой вектор aL называют собственным вектором преобразования , если этим преобразованием он переводится в вектор ₀a, т.е. (a)=₀a, где ₀ – некоторое число из поля Р, называемое собственным значением преобразования . При этом говорят, что собственный вектор a принадлежит собственному значению ₀ (или относится к этому собственному значению).

Заметим, что нулевой вектор не считается собственным вектором никакого линейного преобразования.

Примеры:

1. Пусть L – любое линейное пространство,  – его линейное преобразование, задаваемое так: (а)=₀а aL (преобразование растяжения). Тогда собственными векторами  будут все ненулевые векторы из L, а собственные значения   только число ₀.

Следующие два примера – для пространства R₂ векторов-отрезков на плоскости.

2.  – проектирование R₂ на ось ОХ. Тогда собственными векторами  будут все ненулевые векторы оси ОХ (так как, если аOX\О, то (a)=a=1a), и все ненулевые векторы оси OY (если bOY\O, то (b)=0=0b). Собственные значения  – числа 1 и 0.

3.  – поворот плоскости на угол k. Так как при таком повороте ни один вектор, отличный от нуля, не остается на своей прямой (т.е. не переходит в пропорциональный), то  не имеет собственных векторов.

Теорема 7. Собственными значениями линейного преобразования , действующего в конечномерном линейном пространстве L над полем Р, являются характеристические корни этого преобразования, принадлежащие полю Р, и только они.

Доказательство. 1. Пусть линейное преобразование  в некотором базисе е имеет матрицу А и число ₀ является собственным значением линейного преобразования . Тогда ₀Р и существует аL\0, что справедливо равенство (a)=₀a (1). Если  –тождественное преобразование, то ₀а=(₀а)=(₀)(а). Так как в силу (1) (а)-₀a=0,

то мы получаем: (а)-₀a=(а)-(₀)(а)=(-₀)(а)=0 (2).

Пусть А – матрица  в базисе е. Тогда равенство (1) равносильно координатному равенству (А-₀Е)[a]=0 (3), где [a] – столбец координат вектора а в базисе е.

Матричное равенство (3) показывает, что столбец [a] является решением однородной системы линейных уравнений (А-₀Е)Х=0 (4). Так как вектор а ненулевой, то система (4) имеет ненулевые решения, и потому ее определитель равен нулю, т.е. |A- ₀E|=0 (5). Значит, число ₀ является характеристическим корнем преобразования , содержащимся в Р.

2. Докажем обратное утверждение.

Пусть ₀ – характеристический корень , принадлежащий Р. Тогда выполняется (5), т.е. определитель однородной системы (4) равен нулю, и эта система имеет ненулевое решение, т.е. для некоторого вектора a0 выполняется (3). А тогда вектор а удовлетворяет условиям (2) и (1). Поэтому, по определению, а – собственный вектор преобразования . Так как ₀Р, то из (1) следует, что ₀ – собственное значение .

Теорема доказана.

Замечание 1. Если ввести обозначения:

СЗ – множество собственных значений , ХК – множество характеристических корней , то теорема 7 примет вид: ХКР=СЗ.

Так как все корни многочлена с комплексными коэффициентами комплексные, то из теоремы 7 получаем

Следствие. В конечномерном комплексном линейном пространстве собственными значениями любого его линейного преобразования являются все его характеристические корни, и только они. В конечномерном действительном линейном пространстве собственными значениями линейного преобразования являются все его действительные характеристические корни, и только они.

Замечание 2. Из этого следствия вытекает следующее правило. Для отыскания всех собственных значений линейного преобразования с матрицей А нужно найти все характеристические корни матрицы А и из них выбрать лишь те, которые принадлежат основному полю Р. Для отыскания всех собственных векторов линейного преобразования с матрицей А нужно для каждого собственного значения ₀ найти все ненулевые решения системы (4).