Вариант в

13. Вероятности того, что во время работы электронной машины произойдет сбой в устройстве, в оперативной памяти, в остальных устройствах, относятся как 3:2:5. Вероятности обнаружения сбоя в арифметическом устройстве, в оперативной памяти и в остальных устройствах соответственно равны 0,8; 0,9; 0,9. Найти вероятность того, что возникший в машине сбой будет обнаружен.

Пусть событие А может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий (гипотез) В₁, В₂,…, В_n, которые образуют полную группу событий. Если событие А уже произошло, то вероятности гипотез могут быть переоценены по формуле Бейеса

Продолжение приложения 8

,

где .

14. Два автомата производят одинаковые детали, которые поступают на общий конвейер. Производительность первого автомата вдвое больше производительности второго. Первый автомат производит в среднем 60% деталей отличного качества, а второй — 84%. Наудачу взятая с конвейера деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что эта деталь произведена первым автоматом.

Решение. Обозначим через А событие – деталь отличного качества. Можно сделать два предположения (гипотезы): В₁ – деталь произведена первым автоматом, причем (поскольку первый автомат производит вдвое больше деталей, чем второй) Р(В₁) = 2/3; В₂ – деталь произведена вторым автоматом, причём Р(В₂) = 1/3.

Условная вероятность того, что деталь будет отличного качества, если она произведена первым автоматом, Р_В1(А) = 0,6.

Условная вероятность того, что деталь будет отличного качества, если она произведена вторым автоматом, Р_В2(А) = 0,84.

Вероятность того, что наудачу взятая деталь окажется отличного качества, найдем по формуле полной вероятности:

Р(А) = Р(В₁)∙P_B1(A) + P(B₂)∙P_B2(A) = 2/3∙0,6 + 1/3∙0,84 = 0,68.

Искомая вероятность того, что взятая отличная деталь произведена первым автоматом, по формуле Бейеса равна

.

Продолжение приложения 8

15. В пирамиде 10 винтовок, из которых 4 снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,95; для винтовки без оптического прицела эта

вероятность равна 0,8. Стрелок поразил мишень из наудачу взятой винтовки. Что вероятнее: стрелок стрелял из винтовки с оптическим прицелом или без него?

16. Число грузовых автомашин, проезжающих по шоссе, на котором стоит бензоколонка, относится к числу легковых машин, проезжающих по тому же шоссе, как 3:2. Вероятность того, что будет заправляться грузовая машина, равна 0,1; для легковой машины эта вероятность равна 0,2. К бензоколонке подъехала для заправки машина. Найти вероятность того, что это грузовая машина.

17. Две перфораторщицы набили на разных перфораторах по одинаковому комплекту перфокарт. Вероятность того, что первая перфораторщица допустит ошибку, равна 0,05; для второй перфораторщицы эта вероятность равна 0,1. При сверке перфокарт была обнаружена ошибка. Найти вероятность того, что ошиблась первая перфораторщица. (Предполагается, что оба перфоратора были исправны.)

18. В специализированную больницу поступают в среднем 50% больных с заболеванием K, 30% – с заболеванием L, 20% – с заболеванием М. Вероятность полного излечения болезни K равна 0,7; для болезней L и М эти вероятности соответственно равны 0,8 и 0,9. Больной, поступивший в больницу, был выписан здоровым. Найти вероятность того, что этот больной страдал заболеванием K.

19. Изделие проверяется на стандартность одним из двух товароведов. Вероятность того, что изделие попадет к первому товароведу, равна 0,55, а ко второму – 0,45. Вероятность того, что стандартное изделие будет признано стандартным первым товароведом, равна 0,9, а вторым – 0,98. Стандартное

Продолжение приложения 8

изделие при проверке было признано стандартным. Найти вероятность того, что это изделие проверил второй товаровед.

20. Событие А может появиться при условии появления одного из несовместных событий (гипотез) B₁, B₂, B₃, образующих полную группу событий. После появления события А были переоценены вероятности гипотез, то есть были

найдены условные вероятности этих гипотез, причем оказалось, что Р_А(В₁)=0,6 и Р_А(В₂)=0,3. Чему равна условная вероятность Р_А(В₃) гипотезы В₃?

21. Имеются три (четыре, пять) партии деталей по 20 деталей в каждой. Число стандартных деталей в первой, второй и третьей партиях соответственно равно 20, 15, 10. Из наудачу выбранной партии наудачу извлечена деталь, оказавшаяся стандартной. Деталь возвращают в партию и вторично из той же партии наудачу извлекают деталь, которая также оказывается стандартной. Деталь возвращают в партию и снова из той же партии наудачу извлекают деталь, которая также оказывается стандартной. Найти вероятность того, что детали были извлечены из третьей партии.

Решение. Обозначим через А событие – в каждом из двух испытаний (с возвращением) была извлечена стандартная деталь.

Можно сделать три предположения (гипотезы): В₁ – детали извлекались из первой партии; В₂ – детали извлекались из второй партии; В₃ – детали извлекались из третьей партии.

Детали извлекались из наудачу взятой партии, поэтому вероятности гипотез одинаковы:

P(B₁) = P(B₂) = P(B₃) = 1/3

Найдём условную вероятность Р_B1(A), то есть вероятность того, что из первой партии будут последовательно извлечены две стандартные детали. Это событие достоверно, так как в первой партии все детали стандартны, поэтому

P_B1(A) = 1.

Продолжение приложения 8

Найдём условную вероятность Р_B2(А), то есть вероятность того, что из второй партии будут последовательно извлечены (с возвращением) две стандартные детали

Р(А) = 15/20 ∙ 15/20 = 9/16.

Найдём условную вероятность Р_B3(A), то есть вероятность того, что из третьей партии будут последовательно извлечены (с возвращением) две стандартные детали:

P_B3(A) = 10/20-10/20 = 1/4.

Искомую вероятность того, что обе извлеченные стандартные детали взяты из третьей партии, определим по формуле Бейеса:

22. Батарея из трёх орудий произвела залп, причем два снаряда попали в цель. Найти вероятность того, что первое орудие попало в цель, если вероятности попадания в цель первым, вторым и третьим орудиями соответственно равны р₁ = 0,4, р₂ = 0,3, р₃ = 0,5, р₁ = 0,3, р₂ = 0,5, р₃ = 0,6.

Решение. Обозначим через А событие – два орудия попали в цель. Сделаем два предположения (гипотезы): В₁ – первое орудие попало в цель; В₂ – первое орудие не попало в цель.

По условию, Р(В₁) = 0,4; следовательно событие В₂ противоположно событию В₁,

Р(В₂) = 1–0,4 = 0,6.

Найдём условную вероятность Р_В1(А), то есть вероятность того, что в цель попало два снаряда, причем один из них послан первым орудием и, следовательно, второй – либо вторым орудием (при этом третье орудие дало промах), либо третьим (при этом второе орудие дало промах). Эти два события несовместны, поэтому применима теорема сложения:

Продолжение приложения 8

Р_В1(А) = p₂·q₃ + p₃·q₂ = 0,3·0,5 + 0,5·0,7 = 0,5

Найдём условную вероятность Р_В2(А), то есть вероятность того, что в цель попало два снаряда, причем первое орудие дало промах. Другими словами, найдём вероятность того, что второе и третье орудия попали в цель. Эти два события независимы, поэтому применима теорема умножения:

Р_В2(А) = p₂·p₃ = 0,3·0,5 = 0,15

Искомую вероятность того, что первое орудие попало в цель, вычислим по формуле Бейеса:

23. Три стрелка произвели залп, причём две пули поразили мишень. Найти вероятность того, что третий стрелок поразил мишень, если вероятности попадания в мишень первым, вторым и третьим стрелками соответственно равны 0,6, 0,5 и 0,4.

Два из трёх независимо работающих элементов вычислительного устройства отказали. Найти вероятность того, что отказали первый и второй элементы, если вероятности отказа первого, второго и третьего элементов соответственно равны 0,2; 0,4 и 0,3 (0.25; 0.55; 0.35).

Решение. Обозначим через А событие – отказали два элемента. Можно сделать следующие предположения (гипотезы):

В₁ – отказали первый и второй элементы, а третий элемент исправен, причем поскольку элементы работают независимо, приме­нима теорема умножения

Р(В₁) = p₁·p₂·q₃ = 0,2·0,4·0,7 = 0,056;

В₂ – отказали первый и третий элементы, а второй элемент исправен, причем

Р(B₂) = p_1·p₃·q₂ = 0,2·0,3·0,6 = 0,036;

В₃ – отказали второй и третий элементы, а первый – исправен, причём

Продолжение приложения 8

Р(B₃) = p₂·p₃·q₁ = 0,4·0,3·0,8 = 0,096;

В₄ – отказал только один элемент; B₅ – отказали все три элемента; В₆ – ни один из элементов не отказал.

Вероятности последних трех гипотез не вычислены, так как при этих гипотезах событие A (отказали два элемента) невозможно и значит условные вероятности Р_В4(А), Р_В5(А) и Р_В6(А) равны нулю, следовательно, равны нулю и произведения Р(В₄)·Р_B4(A), Р(В₅)·Р_B5(A) и Р(В₆)·Р_B6(A) [см. ниже соотношение (*)] при любых значениях вероятностей гипотез В₄, В₅ и В₆.

Поскольку при гипотезах В₁, В₂, В₃ событие А достоверно, то соответствующие условные вероятности равны единице:

Р_В1(А)=Р_В2(А)=Р_В3(А)=1

По формуле полной вероятности, вероятность того, что отказали два элемента,

Р(А)=Р(В₁)·Р_В1(А)+Р(В₂)·Р_В2(А)+Р(В₃)·Р_В3(А)+Р(В₄)·Р_В4(А)+

+Р(В₅)·Р_В5(А)+Р(В₆)·Р_В6(А)=0,056·1+0,036·1+0,096·1=0,188. (*)

По формуле Бейеса, искомая вероятность того, что отказали первый и второй элементы,

24. Две из четырех независимо работающих ламп прибора отказали. Найти вероятность того, что отказали первая и вторая лампы, если вероятности отказа первой, второй, третьей и четвертой ламп p₁ = 0,1, p₂ = 0,2, p₃ = 0,3 и p₄ = 0,4.