3. Алгоритм выполнения задания

3.1. Уточняют исходные данные и задание в целом.

3.2. По принятым из таблиц данным в выборке определённого объёма:

3.2.1. проводят расчёт основных характеристик эмпирического распределения;

3.2.2. строят экспериментальную кривую распределения значений принятой характеристики;

3.2.3. принимают теоретический закон распределения и строят график по характерным точкам;

3.2.4. проверяют совпадение теоретической и экспериментальной кривых распределения (методом визуального сравнения графиков и по характерным критериям: Колмогорова и Пирсона);

3.2.5. определяют надёжность – вероятность попадания случайной величины в заданный интервал её изменения с использованием общей или интегральной моделей нормального распределения.

3.3. Пример расчёта основных характеристик эмпирического распределения

3.3.1. Принимаем в качестве примера объём выборки n=25...50 шт (примем исследуемый размер мм . Конкретные значения размера принимаются по указанию руководителя).

Измерением диаметров роликов установлены следующие фактические размеры:

17,89 17,92 17,93 17,94 17,94

17,95 17,95 17.96 17,96 17,96

17,97 17,97 17,97 17,98 17,98

17,98 17,99 17,99 18,00 18,00

18,01 18,02 18,02 18,04 18,05

Продолжение приложения 1

Из приведенного ряда чисел следует, что максимальный размер ролика d_max=18,05 мм, а минимальный d_min=17,89 мм. Тогда поле рассеяния в выборке составляет

.

3.3.2. Для построения экспериментальной кривой разбиваем приведенный ряд чисел на группы через определённый интервал и устанавливаем абсолютную частоту повторяемости размеров в каждом интервале m_i.

Полагая, что измерение роликов будет производиться микрометром с точностью измерения 0,01 мм, принимаем интервал с=0,02 мм, то есть того же порядка, что и точность измерения. Тогда количество групп (интервалов)

.

Интервалы размеров, средние размеры в интервалах x_i и абсолютную частоту их повторяемости заносим в 1-ю, 2-ю и 3-ю графы табл. П1.12.

Таблица П1.12 – Сводная таблица

Интервалы размеров	Середина интервала xi	mi	xi·mi	xi–	(xi– )2·104	(xi– )2·mi·104
1	2	3	4	5	6	7
17,89...17,91	17,90	1	17,90	-0,08	64	64
17,91...17,93	17,92	1	17,92	–0,06	36	36
17,93...17,95	17,94	3	53,82	–0,04	16	48
17,55...17,97	17,96	5	89,80	–0,02	4	20
17,97...17,99	17.98	6	107,88	0	0	0
17,99...18,01	18,00	4	72,00	+0,02	4	16
18,01...18,03	18,02	3	54,06	+0,04	16	48
18,03...18,05	18,04	2	36,08	+0,06	36	72
		∑mi=25

Продолжение приложения 1

(При большом количестве групп возможно их попарно объединить до общего числа в интервале от 8 до 10 групп.)

Для заполнения граф 5, 6 и 7 табл. П1.12 определяем среднее арифметическое выборки по формуле

.

Примечание: при заполнении граф 6 и 7 результаты вычислений умножены на 10⁴ с целью избавиться от дробных значений и заменить их целыми числами, удобными для дальнейших вычислений.

Это следует учесть при вычислении величины s, разделив суммарный результат графы 7 на 10⁴ (см. пример).

3.3.3. По данным граф 1, 2, 3 строим экспериментальную кривую (рис.1.1) в координатах интервалы – частота m_i или частость P_i, которая для каждого интервала вычисляется по формуле

.

Например:

для 1-го интервала ;

для 3-го интервала ;

для 4-го интервала и т.д.

Методом визуальной оценки определяем, что построенная экспериментальная кривая по внешнему виду напоминает кривую Гаусса, кривую нормального распределения.

Продолжение приложения 1

В принятом масштабе на график (рис.1.1) наносят поле допуска на заданный размер, например

d=18,03–17,92=0,11 мм.

3.3.4. Сопоставление эмпирического распределения с теоретическим методом сравнения графиков распределений. Построение теоретической кривой распределения ведут по характерным точкам [1П.1, с. 65]. Для их нахождения определяют величину среднего квадратического отклонения (меру рассеяния) по формуле

.

Тогда контрольные ординаты кривой определим из соотношений

Результаты построения представляют в виде, например, двух графиков (рис.1. 1).

3.4. Сравнение эмпирического распределения с теоретическим по характерным критериям

Чтобы убедиться в том, что экспериментальный закон распределения размеров точно соответствует нормальному закону, необходимо установить степень их соответствия или согласия. Это устанавливается с помощью так называемых критериев согласия.

Продолжение приложения 1

Рис.1.1.

Функция f(x) –полигон и гистограмма распределения попадания отклонений в поле допуска размера

Продолжение приложения 1

В теории вероятности известны критерии Пирсона, Романовского, Колмогорова, Вестергарда. Два последних критерия чаще всего используются для установления соответствия экспериментального закона с законом нормального распределения.

Критерий Колмогорова даёт более точные результаты и поэтому используется в более ответственных случаях (например, в научных исследованиях).

Критерий Колмогорова оценивает степень соответствия экспериментальной и теоретической кривых по максимальной разности накопленных частот для этих кривых, так как этой разностью характеризуются несовпадение точек экспериментальной и теоретической кривых для определённого значения случайной величины X.