Приложение 8.1. Раздел 8.1.3. Задачи определения надежности сложных тс, варианты № 1−9

Методику решения и обозначения характеристик можно принять по источнику [2].

Системы с последовательным соединением элементов

1. Система состоит из 10 независимых элементов, надёжность каждого из которых P=0,95 (0,9; 0,85; 0,8 и т.д.). Определить надёжность системы.

P = 0,95¹⁰  0,6.

2. Какой надёжностью Р должен обладать отдельный элемент для того, чтобы система, составленная из n таких элементов, обладала заданной надёжностью Р?

.

3. Простая система состоит из 1000 одинаковых надёжных, независимых элементов. Какой надёжностью должен обладать каждый из них, для того чтобы надёжность системы была не меньше 0,9; (0,75; 0,78 и т.д. до 0,9)?

.

4. Простая система S состоит из трёх независимых элементов, плотности распределения времени безотказной работы которых заданы формулами:

Найти интенсивность отказов системы.

Решение. Определяем ненадёжность каждого элемента:

Продолжение приложения 8

Отсюда надёжность элементов

Интенсивности отказов элементов (условная плотность вероятности отказов) – отношение f(t) к P(t):

Складывая, имеем _c = ₁(t) + ₁(t) + ₁(t).

5. Предположим, что для работы системы с последовательным соединением элементов при полной нагрузке необходимы два разнотипных насоса, причём насосы имеют постоянные интенсивности отказов, равные соответственно ₁=0,0001 ч^-1 и ₂=0,0002 ч^-1. Требуется вычислить среднее время безотказной работы данной системы и вероятность её безотказной работы в течение 100 ч. Предполагается, что оба насоса начинают работать в момент времени t=0.

С помощью формулы (4.5.6.) находим вероятность безотказной работы Р_S заданной системы в течение 1000 ч:

Используя формулу (4.5.7.), получаем:

.

Решение основывается на том (см.[2]), что интенсивность отказов системы при экспоненциальном законе распределения времени до отказа легко определить из выражения

Продолжение приложения 8

_с = ₁ + ₂ + ₃ + … + _n ,

то есть как сумму интенсивностей отказов независимых элементов. Это и естественно, так как для системы, в которой элементы соединены последовательно, отказ элемента равновесен отказу системы, значит, все потоки отказов отдельных элементов складываются в один поток отказов системы с интенсивностью, равной сумме интенсивностей отдельных потоков.

Тогда имеем

.

Среднее время работы до отказа

.

Системы с параллельным соединением элементов

6. Предохранительное устройство, обеспечивающее безопасность работы системы под давлением, состоит из трёх дублирующих друг друга клапанов. Надёжность каждого из них р=0,9. Клапаны независимы в смысле надёжности. Найти надёжность устройства.

Решение. По формуле (4.5.10.) P = (1−0,9)³ = 0,999.

7. Предположим, что два одинаковых вентилятора в системе отходящих газов работают параллельно, причём если один из них выходит из строя, то другой способен работать при полной системной нагрузке без изменения своих надёжностных характеристик.

Требуется найти безотказность системы в течение 400 ч (продолжительность выполнения задания) при условии, что интенсивность отказов двигателей вентиляторов постоянна: ₁=0,0005 ч^-1, отказы двигателей статистически независимы и оба вентилятора начинают работать в момент времени t=0.

Решение. В случае идентичных элементов формула принимает вид (см. [2]):

P(t) = 2exp(−t)−exp(−2t)

Продолжение приложения 8

Поскольку ₁ = 0,0005 ч^-1 и t = 400 ч, то:

P(400) = 2exp(−0,0005400)−exp(−20.0005400) = 0,9671.

Среднюю наработку на отказ находим из соотношения

T₀=1/(1/1+1/2)=1/3/2=1,5/0,0005=3000 ч.

Способы преобразования сложных структур

8. Определить вероятность безотказной работы устройства, структурная схема которого изображена на рис. 4.5.3,б (см. [2]) , если известно, что вероятности безотказной работы каждого из элементов схемы равны 0,9.

Решение. Так как все элементы идентичны, воспользуемся формулой (4.5.18.), с её помощью получим:

P = 20,9⁵−50,9⁴+20,9³+20,9²  0,978.

9. Требуется определить вероятность безотказной работы и среднюю наработку на отказ системы, состоящей из пяти независимых и одинаковых элементов, соединённых по мостиковой схеме (рис. 4.5.3,б); считается, что ₁=0,0005 ч^-1, t=100 ч и все элементы начинают работать в момент времени t=0.

Решение (см. [2]).

С помощью формулы (4.5.20) получаем:

P(100) = 2e^-0,25-5e^-0,2+2e^-0,51₊2e^-0,1 = 0,9999.

Подставляя полученное значение вероятности безотказной работы в формуле (4.5.21), находим среднюю наработку на отказ:

T₀ = 49/(600,0005) = 1633,4 ч.

10. Установлено, что дренажная линия имеет экспоненциальное распределение наработки до отказа. Требуется определить среднюю наработку до отказа Т₀ при условии, чтобы вероятность её безотказной работы была бы не менее 0.995 в течение 0.1 года.

Продолжение приложения 8

Решение. Вероятность безотказной работы как известно [2,19] определяется Р(t) = e−0,1/t_cp ≥ 0.995. Отсюда −0,1/t_cp ≥ ln0,995 = −0,0049 и t_cp = 0,1/0,0049 = 20,4 года.

Приближенно вероятность безотказной работы можно оценить следующим образом: P(t) = 1−t/T = 1−0,1/T₀ ≥ 0,995.

Тогда среднюю наработку до отказа можно оценить из соотношения T₀ ≥ 0,1/0,005 = 20 лет.

11. Рассчитать надёжность и сопоставить риски выходной части закрытых однониточной и двуниточной (дублированной) дренажной линий, состоящих из четырех элементов.

Решение. Условно примем показатели надёжности для каждого элемента: 1 смотровой колодец – 0.95; 2-2/ − вторая часть закрытого коллектора − 0.9; третья часть линии 3−3/ − 095; четвертая часть −0.9.

Для однониточной линии как последовательного соединения надёжность

Р₁ = 0,95ּ0,9ּ0,95ּ0,9 = 0,73,

риск R₁=0,27.

Надёжность двуниточной линии как последовательного соединения

Р₂ = 0.95[1−(1−0.95)(1−0.95)(1−0.9) = 0.95],

риск R2=0.05.

Соотношение рисков R1/R2=0.27/0.05=5.4

12. Установить и сопоставить надёжность закрытой однониточной и резервной двухниточной (дублированной) дренажной линии, если задано, что закрытая дренажная линия длиной 100 метров состоит из 300 трубок (300 стыков).

Решение. Допустим, что надёжность всех трубок или стыков одинакова и для трубок Р_т=0,9999, и для стыков Р_ст=0,9999. Тогда для однониточной линии

,

риск R₁=0,2921.

Для двухниточной линии Р₂ = 1−(1−0,9999300ּ0,9999300)2 = 0,9147,

риск R₂=0,0853.

Соотношение рисков R1/R2 = 0,2921/0,0853 = 3,42.

Продолжение приложения 8