3.5. Применение критерия Колмогорова

Критерий Колмогорова определяется по формуле

,

где N_x и N΄_x – накопленные эмпирические и теоретические частоты для случайной величины X;

n – объём выборки;

– наибольшая абсолютная разность накопленных частот, соответствующая какому-либо из значений Х_i.

Накопленной частотой для любого значения X_i называется сумма из частоты, соответствующей данному значению X_i, и частот, соответствующих всем предшествующим значениям величины X_i.

Следовательно, эмпирическая накопленная частота N_x есть сумма эмпирических частот m_i для случайной величины X_i и определяется по формуле

N_x=∑m_i,

Продолжение приложения 1

где m_i – абсолютная частота, соответствующая каждому интервалу размеров от первого до соответствующего X_i включительно; она определяется по результатам замеров (см. 3-ю графу табл. 11).

Согласно таблице1 для величины X_i=17,96; N_x=5+3+1+1=10.

Теоретическая накопленная частота N΄_x для той же величины X_i есть сумма теоретических частот m΄_x, то есть

N΄_x=∑m΄_i,

где m΄_i – теоретическая абсолютная частота, соответствующая тем же интервалам, для которых определялась и m_i.

Для каждого значения X_i она определяется по формуле

.

Приняв , получим

,

где n – объём выборки;

с – величина интервала;

.

Значения Z_t для различных t подсчитаны и приводятся в специальных статистических таблицах.

Теперь, определив N_x и N΄_x, определяем коэффициент l, по которому находим вероятность Р(l) по таблицам, приведенным в специальной литературе.

Продолжение приложения 1

Если значение вероятности Р(l)>0,05, то экспериментальное распределение подчиняется закону нормального распределения, а при Р(l)<0,05 такое соответствие отсутствует и нужно искать другой теоретический закон по методике, приведенной в специальной литературе по теории вероятности и математической статистике.

Все вышесказанное в общем виде проиллюстрируем на случае, представленном на рис.1. 2.

По внешнему виду экспериментальная кривая напоминает кривую Гаусса, однако её точки 1, 2, 3, 4 (мы рассматриваем лишь одну сторону кривой) не совпадают с точками 1', 2', 3', 4' теоретической кривой, что может привести к несоответствию эмпирического и теоретического.

Рис. 1.2.Схема выбора координат Х₁…Х₅

Продолжение приложения 1

Пусть в результате проведенных вычислений и замеров по диаграмме установлено, что

m₁=0 m'₁=0,3

m₂=1,8 m'₂=1,2

m₃=3,6 m'₃=2,8

m₄=6.4 m'₄=5,4

m₅=8,0 m'₅=7,0

Тогда

для x₁: N_x=0,

N΄_x= m΄_i =0,3,

для x₂: N_x=m₁=1,8,

N΄_x=m'₁+m'₂=0,3+1,2=1,5,

для x₃: N_x=m₁+m₂=1,8+3,6=5,4,

N΄_x=m'₁+m'₂+m'₃=0,3+1,2+2,8=4,3,

для x₄: N_x=m₁+m₂+m₃=1,8+3,6+6,4=11,8,

N΄_x=m'₁+m'₂+m'₃+m'₄=0,3+1,2+2,8+5,4=9,7,

для x₅: N_x=m₁+m₂+m₃+m₄=1,8+3,6+6,4+8,0=19,8,

N΄_x=m'₁+m'₂+m'₃+m'₄+m'₅=0,3+1,2+2,8+5,4+7,0=16,7.

Определим разность экспериментальных и теоретических частот N_x–N΄_x для тех же значений величины X:

для x₁: N_x–N΄_x=0–0,3= –0,3;

для x₂: N_x–N΄_x=1,8–1,5=0,3;

для x₃: N_x–N΄_x=5,4–4,3=1,1;

для x₄: N_x–N΄_x=11,8–9,7=2,1;

для x₅: N_x–N΄_x=19,8–16,7=3,1 – максимум.

Если принять объём выборки n=25, тогда критерий Колмогорова

Продолжение приложения 1

По таблице критериев Колмогорова этому коэффициенту соответствует вероятность [1П.1, с. 209, прил. 12]

P(l)=0,86.

Так как Р(l)>0,05, то экспериментальный закон соответствует закону Гаусса.

3.6. Применение критерия Пирсона для кривых нормального распределения

3.6.1. В качестве примера выполнения расчёта рассмотрим результаты статистических измерений, приведённых в таблице П1.13.

Таблица П1.13 – Исходные данные

Интервал отклонений		Середина интервала Хi	Частота появления mi
Δн	Δв
229	234	231,5	9
234	239	236,5	10
239	244	241,5	21
244	249	246,5	18
249	254	251,5	15
254	259	256,5	11
259	264	261,5	4
			∑m1=N=88

3.6.2. По данным X_i и m_i строится полигон эмпирического распределения (рис.1. 3):

Рис.1.3. Полигон эмпирического распределения

Продолжение приложения 1

3.6.3. В качестве гипотезы теоретического распределения частот исследуемого параметра принимаем закон нормального распределения.

3.6.4. Проверяем эту гипотезу. Для этого используем критерий Пирсона χ². Расчёты начинаем с определения теоретических частот рассеивания:

(2)

где h – ширина интервала (здесь h=5);

S – среднеквадратическое отклонение по эмпирическому распределению;

(t) – плотность теоретического распределения;

∑m_i=N – объём выборки (здесь N=88).

Для расчёта входящего в (2.19) среднеквадратического отклонения используем соотношение

, (3)

где

,

,

,

x₀ – новое начало отсчёта, за которое обычно принимают середину интервала, имеющую наибольшую частоту (на основании табл. П1.13 принимаем x₀=241,5 мкм);

– среднее значение совокупности x_i.

Результаты расчётов сведем в таблицу П1.14. При этом будем считать .

Продолжение приложения 1

Таблица П1.14 –

Середина интервала x0	Частота появления mi	x΄i	mi·x΄i	mi·(x΄i)2
231,5	9	–2	–18	36
236,5	10	–1	–10	10
241,5	21	0	0	0
246,5	18	1	18	18
251,5	15	2	30	60
256,5	11	3	33	99
261,5	4	4	16	64
∑	88		69	287

Продолжение табл. П1.14

–1,712	0,0925	0,0570	5,0
–1,096	0,2179	0,1342	11,8
–0,480	0,3555	0,219	19,3
0,136	0,3951	0,2434	21,4
0,751	0,3011	0,1855	16,3
1,367	0,1561	0,0962	8,5
1,983	0,0562	0,0346	3,0

3.6.5. Для проверки гипотезы о соответствии эмпирического распределения по нормальному закону распределения рассчитаем критерий χ² – Пирсона (критерий согласия). При этом φ(t) при определении m_i находят по таблицам нормального распределения:

.

Число степеней свободы k равно

k=n–r–1=7–2–1= 4.

По таблице вероятностей [1П.1, прил. 13] для критерия Пирсона находим P(χ²)=0,4348>0,05, поэтому гипотеза о нормальном распределении справедлива.

Продолжение приложения 1