3.7. Применение критерия Пирсона для кривых распределения по закону Пуассона

Пусть требуется установить теоретический закон распределения погрешностей для данных, приведенных в табл. П1.15

Таблица П1.15 – Результаты измерений

Интервалы Δ, мкм		xi	mi	x΄i	mi·x΄i	mi·(x΄i)2
от	до
–2	–0,86	–1,43	8	–3	–24	72
–0,86	0,28	–0,29	19	–2	–38	76
0,28	1,42	0,85	22	–1	–22	22
1,42	2,56	1,99	25	0	0	0
2,56	3,70	3,13	9	1	9	9
3,70	4,84	4,27	3	2	6	12
4,84	5,98	5,41	2	3	6	18
5,98	7,12	6,55	2	4	8	32
7,12	8,26	7,69	1	5	5	25
8,26	9,40	8,83	2	6	12	72
∑			93		46	338

Алгоритм расчёта

1. На основании построенного полигона эмпирического распределения частот отклонений (см. рис.1.4) принимаем гипотезу теоретического распределения погрешностей по закону Пуассона.

Рис. 1.4. Полигон эмпирического распределения

Продолжение приложения 1

2. Для предварительного подтверждения принятой гипотезы распределения определяем среднее значение и среднее квадратичное отклонение S выборочной совокупности x_i:

Поскольку и S данной выборочной совокупности по своим численным значениям мало отличаются друг от друга, принимаем гипотезу распределения по закону Пуассона за основу.

3. Для построения теоретической кривой рассчитываем частоты m΄_i отклонений x_i:

m΄_i=N·P_n(k), (4)

где N=∑m_i – объём выборки (N=93);

P_n(k) – вероятность появления соответствующего события k раз в n испытаниях, определяемая по формуле Пуассона:

4. Результаты расчётов сводим в таблицу П1.16. В ней значения P_n(k) определяются по таблице распределения Пуассона для величины a при соответствующих значениях x_i, при этом

Продолжение приложения 1

где x₀ – новое начало отсчёта.

5. Сравнение теоретической кривой распределения с эмпирической проводим на основе критерия согласия Пирсона χ² по формуле

.

Результаты расчётов сводим в таблицы П1.16, П1.17.

6. По таблице вероятностей для критерия Пирсона находим вероятность согласия P(χ²) для соответствующего числа степеней свободы. Число степеней свободы k=n–r–1=6–1–1=4. Из [1П.1, прил. 13] для χ²=2,9245 и k=4 вероятность P(χ²)=0,5710.

Так как 0,5710>0,05, то гипотезу о распределении по закону Пуассона можно применить.

Таблица П1.16 – Результаты расчётов

xi	mi		x΄i	mi·x΄i	Pn(k)	m΄i
-1,43	8		0	0	0,0743	6,9
-0,29	19		1	19	0,1931	17,8
0,85	22		2	44	0,2510	23,3
1,99	25		3	75	0,2176	20,2
3,13	9		4	36	0,1414	13,1
4,27	3		5	15	0,0735	6,8
5,41	2		6	12	0,0319	3,0
6,55	2		7	14	0,0118	1,1
7,69	1		8	8	0,0039	0,4
8,83	2		9	18	0,0011	0,1

Продолжение приложения 1

^{Таблица П1.17 – Результаты расчётов значений χ2}

Эмпирические частоты mi		Теоретические частоты m΄i		│mi–m΄i│	│mi–m΄i│2
8		6,9		1,1	1,21	0,1754
19		17,8		1,2	1,44	0,0809
22		23,3		1,3	1,69	0,0725
25		20,2		4,8	23,04	1,1406
9		13,1		4,1	16,81	1,2832
3		6,8		1,4	1,96	0,1719
2		3,0
2		1,1
1		0,4
2		0,1
=2,9245