Вариант д

37. Вероятность появления события в каждом из 100 независимых испытаний постоянна и равна p = 0,8 (0.91; 0.95). Найти вероятность того, что событие появится: а) не менее 75 раз и не более 90 раз; б) не менее 75 раз; в) не более 74 раз.

Решение. Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа:

Pn(k₁, k₂) = Ф(x)- Ф(x),

где Ф(х) – функция Лапласа,

.

а) По условию, n=100; р=0,8; q=0,2; k₁=75; k₂=90. Вычислим x и x:

;

.

Учитывая, что функция Лапласа нечётна, то есть Ф(−x) = −Ф(x), получим

P₁₀₀(75; 90) = Ф(2,5)−Ф(−1,25) = Ф(2,5) + Ф(1,25).

По таблице приложения 2

Ф(2,5) = 0,4938; Ф(1,25) = 0,3944.

Искомая вероятность

Р₁₀₀(75; 90) = 0,4938 + 0,3944 = 0,8882.

б) Требование, чтобы событие появилось не менее 75 раз, означает, что число появлений события может быть равно 75, либо 76, ..., либо 100. Таким образом, в рассматриваемом случае следует принять k₁=75, k₂=100. Тогда

;

.

По таблице приложения 2 Ф(1,25) = 0,3944; Ф(5) = 0,5.

Продолжение приложения 8

Искомая вероятность

Р₁₀₀(75; 100) = Ф(5) –Ф(−1,25) = Ф(5) + Ф(1,25) = 0,5 + 0,3944 = 0,8944.

в) События – A появилось не менее 75 раз и А появилось не более 74 раз − противоположны, поэтому сумма вероятностей этих событий равна единице. Следовательно, искомая вероятность

P₁₀₀(0; 74) =1 − P₁₀₀(75; 100)=1 − 0,08944.

38.Вероятность появления события в каждом из 2100 независимых испытаний равна 0,7. Найти вероятность того, что событие появится: а) не менее 1470 и не более 1500 раз; б) не менее 1470 раз; в) не более 1469 раз.

39.Вероятность появления события в каждом из 21 независимых испытаний равна 0,7. Найти вероятность того, что событие появится в большинстве испытаний.

40.Монета брошена 2N раз (N велико!). Найти веро­ятность того, что число выпадений «герба» будет заключено между числами N − и N + .

41.Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0,8 (0.85; 09; 0.95). Сколько нужно произвести испытаний, чтобы с вероятностью 0,9 можно было ожидать, что событие появится не менее 75 раз?

Решение. По условию, р = 0,8; q = 0,2; k₁ = 75; k₂ = n; Р_n = (75, n) = 0,9.

Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа:

Подставляя данные задачи, получим

или

Продолжение приложения 8

Очевидно, число испытаний n=5, поэтому . Поскольку функция Лапласа – ворастающая и Ф(4)~0,5, то можно положить . Следовательно,

Таким образом,

(*)

По таблице приложения 2 Ф(1,28) = 0,4. Отсюда n из соотношения (*), учитывая, что функция Лапласа нечетная, получим

.

Решив это уравнение как квадратное относительно , получим . Следовательно, искомое число испытаний n=100.

42. Вероятность появления положительного результата в каждом из n опытов равна 0,9. Сколько нужно произвести опытов, чтобы с вероятностью 0,98 можно было ожидать, что не менее 150 опытов дадут положительный результат?

43. Вероятность появления события в каждом из 625 (500;600;750) независимых испытаний равна 0,8. Найти вероятность того, что относительная частота появления события отклонится от его вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,04.

Решение. По условию, n = 625; р = 0,8; q = 0,2; e = 0,04. Требуется найти вероятность P(|m/625-0,8|£0,4). Воспользуемся формулой

Продолжение приложения 8

Имеем

.

По таблице приложения 2 Ф (2,5) = 0,4938.Следовательно, 2Ф (2,5) = 2*0,4938 = 0,9876. Итак, искомая вероятность приближенно равна 0,9876.

44. Вероятность появления события в каждом из 900 независимых испытаний равна 0,5. Найти вероятность того, что относительная частота появления события отклонится от его вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,02.

45. Вероятность появления события в каждом из 10 000 независимых испытаний равна 0,75. Найти вероятность того, что относительная частота появления события отклонится от его вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,01.

46. Французский учёный Бюфрон (XVIII в.) бросил монету 4040 раз, причём «герб» появился 2048 раз.

Найти вероятность того, что при повторении опыта Бюффона относительная частота появления «герба» отклонится от вероятности появления «герба» по абсолютной величине не более, чем в опыте Бюффона.

47. Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0,2. Найти наименьшее число испытаний n, при котором с вероятностью 0,99 можно ожидать, что относительная частота появлений события отклонится от его вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,04.

Продолжение приложения 8

48. В урне содержатся белые и черные шары в отношении 4:1. После извлечения шара регистрируется его цвет и шар возвращается в урну. Чему равно наименьшее число извлечений n, при котором с вероятностью 0,95 можно ожидать, что абсолютная величина отклонения относительной частоты появления белого шара от его вероятности будет не более чем 0,01?

49. Вероятность появления события в каждом из 900 независимых испытаний равна 0,5. Найти такое положительное число ε, чтобы с вероятностью 0,77 абсолютная величина отклонения относительной частоты появления события от его вероятности 0,5 не превысила ε.

50. Вероятность появления события в каждом из 10 000 независимых испытаний равна 0,75. Найти такое положительное число ε, чтобы с вероятностью 0,98 абсолютная величина отклонения относительной частоты появления события от его вероятности 0,75 не превысила ε.