Пример определения устойчивости сау по критерию Рауса

Необходимо определить устойчивость САУ, ее структурная схема на рисунке 65.

g(t)

K_ред

s

K_изм

(t)

I_у

u_д

K_у



L

Рис.65. Структурная схема САУ

Обозначения в структурной схеме:

К_изм - передаточный коэффициент измерительного устройства; К_фчв, Т_ф – передаточный коэффициент и постоянная времени фазочувствительного выпрямителя; К_у - коэффициент усиления электронного усилителя; К_эму Т_э - коэффициент передачи и постоянная времени электромашинного усилителя; К_д, Т_д - коэффициент передачи и постоянная времени электрического двигателя; К_ред - коэффициент передачи редуктора.

Кизм В/град	Кэму В /мА	Тфчв сек	Тэму сек	Кд	Тд сек	Кред	Кфчв	Ку
15	2,0	0,004	0,015	2,15	0,3	0,003	1	100

Рис.66. Таблица числовых значений данных

Решение:

Найдем передаточную функцию системы:

(2.38.)

Подставив числовые значения, получим:

(2.39.)

(2.40.)

Получим представление характеристического полинома в следующем виде:

(2.41.)

Характеристическое уравнение будет иметь вид:

D(s) = (2.42.)

Составим таблицу Рауса в соответствии с правилами и получим:

	1	2	3
	0.000018	0.319	19.35
	0.00576	1	0
r3 = 0.003125	0.315875	19.35	0
r4 = 0.018235	0.647152	0	0
r 5 = 0.4881	19.35	0	0

Рис.67. Таблица Рауса

Из анализа таблицы следует, что коэффициенты первого столбца таблицы положительны, а значит, система устойчива.

2.13. Частотные критерии устойчивости

По виду частотных характеристик САУ можно судить об устойчивости систем, поэтому существуют частотные критерии устойчивости систем, которые позволяют осуществлять исследование устойчивости систем во взаимосвязи с графическим представлением их характеристик.

Частотные критерии имеют довольно простую интерпретацию, поэтому с их помощью удобно исследовать устойчивость систем, описываемых характеристическими уравнениями высокого порядка.

Рассмотрим основные критерии.

2.13.1. Критерий Михайлова

В 1938 году русский ученый А.В.Михайлов сформулировал критерий устойчивости САУ, основанный на анализе годографа Михайлова и принципе аргумента, которым обусловлено, что сумма аргументов всех сомножителей комплексного числа равна аргументу произведения комплексных чисел.

Возьмем характеристическое уравнение системы следующего вида:

(2.43.)

Подставим в уравнение мнимое значение р = j и получим:

(2.44.)

Полученное выражение представляет собой математическое описание вектора Михайлова, конец которого при изменении частоты  от 0 до , будет описывать на комплексной плоскости кривую, называемую годографом Михайлова, графическое представление которого изображено на рисунке 68.

Критерий Михайлова сформулирован следующим образом: САУ является устойчивой, если годограф Михайлова при изменении частоты от 0 до  начинается при  = 0 на положительной вещественной полуоси, и с увеличением частоты проходит в положительном направлении (против часовой стрелки) последовательно, нигде не обращаясь в нуль, n квадрантов координатной плоскости, где n является порядком характеристического уравнения системы.

Система является неустойчивой при любом отклонении от критерия Михайлова. На рисунке 68 годограф 1 соответствует устойчивой системе, описываемой уравнением 3-го порядка, годограф 2 соответствует устойчивой системе, описываемой уравнением 4-го порядка, годограф 3 соответствует неустойчивой системе, годограф 4 соответствует системе, находящейся на границе устойчивости, при этом годограф Михайлова проходит через 0.

Рис.68. Графическое представление годографа Михайлова

1 и 2 – устойчивая система, 3 – неустойчивая система,

4 – система находится на границе устойчивости

На рисунке 69 изображены годографы Михайлова для устойчивых и неустойчивых систем, где n - порядок дифференциального уравнения:

Рис.69. Годографы Михайлова:

а) устойчивых систем, б) неустойчивых систем