2.12. Алгебраические критерии устойчивости

2.12.1. Критерий Гурвица

В 1895 г. немецким математиком А. Гурвицем был разработан алгебраический критерий устойчивости систем, которые могут быть описаны дифференциальными уравнениями n – ного порядка. Критерий Гурвица сформулирован таким образом – если все коэффициенты характеристического уравнения системы (2.20.) положительны (a_n > 0) и положительны все определители Гурвица, то система устойчива.

При составлении определителей Гурвица применяются следующие правила:

1. Из коэффициентов уравнения (2.20.) составляется матрица коэффициентов

2. По главной диагонали матрицы выписывают все коэффициенты от a_п-1 до a₀ в порядке убывания индекса

3. Дополняют столбцы матрицы вверх от диагонали коэффициентами с последовательно убывающими, а вниз – с последовательно возрастающими индексами

4. В случае отсутствия коэффициента, а также если их индексы больше n или меньше 0, на места коэффициентов ставят нули.

В результате получаем матрицу коэффициентов следующего вида:

(2.24.)

Определители Гурвица составляются на основании матрицы коэффициентов (согласно пунктирным линиям матрицы (2.24.) и имеют следующий вид:

(2.25.)

(2.26.)

(2.27.)

Все последующие определители также должны быть больше нуля. Последний (n-ый) определитель будет включать в себя всю матрицу коэффициентов (2.24.), но обычно его выражают через предпоследний определитель Гурвица (_n-1):

(2.28.)

Правильность такого выражения следует из того, что в последнем столбце определителя Δ_n стоят нули, за исключением a₀.

При условии, что все определители Гурвица больше нуля, можно определить границы устойчивости системы. Этого можно достигнуть, приравняв к нулю последний определитель (_n = 0), а согласно формуле (2.28.) для этого имеется два варианта решения:

1. a₀ = 0 – граница устойчивости первого типа (нулевой корень)

2. _n-1 = 0 – колебательная граница устойчивости

Недостатками критерия Гурвица являются:

1. Сложность вычислений для уравнений высоких порядков

2. Невозможность определения в неустойчивой системе недостатков, для приведения ее к устойчивой с помощью необходимых изменений.

Пример определения устойчивости сау по Гурвицу

Имеем характеристическое уравнение системы третьего порядка:

(2.29.)

Составляем матрицу коэффициентов характеристического уравнения:

(2.30.)

Если коэффициент a₀ положителен, то устойчивость системы, описанной имеющимся характеристическим уравнением, будет вытекать из положительности ₁ и _2, т.е.:

₁ = а₂ > 0 и (2.31.)

отсюда ₂ = a₁a₂ − a₀a₃ > 0, а значит для устойчивой системы, кроме положительности коэффициентов уравнения, должно выполняться условие a₁a₂ > a₀a_3.