Пример определения прямых показателей качества регулирования сау

Дано:

Передаточная функция САУ имеет вид:

(2.90.)

Задание:

Необходимо определить приближенные значения прямых показателей качества регулирования.

Решение:

Приравняв полином знаменателя передаточной функции к нулю, получим характеристическое уравнение системы и решив его найдем корни уравнения, которые будут иметь вид:

p_1,2 = - 3 ± j4; p₃ = − 8; p₄ = − 10 (2.91.)

Найдем степень устойчивости α, определяемую действительной частью корней и колебательность системы μ, определяемую отношением мнимой части корня к действительной. Отсюда α = 3; μ = 4 / 3 ≈1,33.

Определим время регулирования t_р и перерегулирование σ:

(2.92.)

Задача решена.

2.22. Частотные показатели качества регулирования

Наиболее применяемыми на практике являются частотные показатели качества регулирования, которые определяются с помощью частотных характеристик системы.

Различают следующие частотные показатели:

а) показатель колебательности М, определяемый отношением величины максимальной АЧХ к величине АЧХ при нулевой частоте ω = 0, выражаемый в виде:

(2.93.)

Качество регулирования уменьшается при увеличении показателя колебательности М, при этом растет колебательность системы, величина перерегулирования и время регулирования. Допустимым значением показателя колебательности считают

1,1 ≤ M ≤ 1,5.

б) резонансная частота ω_р - частота, при которой АЧХ системы имеет экстремум. Существуют системы, не имеющие резонансной частоты вовсе и имеющие несколько резонансных частот.

в) полоса пропускания ω_п - зона допустимых отклонений, которая обычно представляет собой полосу не более 5% отклонения от установившегося значения. Быстродействие системы может зависеть от ширины полосы пропускания.

г) частота среза ω_c - частота, при которой АЧХ с увеличением частоты

уменьшается, переходя от величин, больших единицы, к величинам, меньшим единицы, и остается в этих пределах далее, независимо от увеличения частоты.

2.23.Интегральные показатели качества регулирования

Интегральные показатели качества регулирования являются обобщенными показателями качества, и в отличие от прямых и косвенных показателей, интегральные показатели характеризуют не одно какое-либо свойство системы, а совокупность свойств. Для наглядности представим интегральный показатель качества в следующем виде:

(2.94.)

где f(x) – функция всех переменных, характеризующих свойства системы.

При анализе качества регулирования системы по задающему воздействию с использованием переходной функции h(t ) используют понятие линейной интегральной оценки, которая выражается, как:

(2.95.)

Геометрически данную оценку можно выразить в виде площади, ограниченной прямой у = h(∞) и графиком переходной функции h(t ).

Линейная интегральная оценка учитывает не только значения динамических изменений управляемого параметра, но и длительность этих изменений, а значит, чем меньше значение оценки, тем лучше качество регулирования системы.

Примем за δ (∞) – установившуюся ошибку системы, за у_з – задающее воздействие и получим значение:

h(∞) = у_з - δ (∞) (2.96.)

Совершив необходимое преобразование, получим следующее выражение:

h(∞) − h(t) = y_з −δ(∞) − h(t) = y_з − h(t) −δ(∞) = δ(t) −δ(∞) (2.97.)

Исходя из полученного выражения, линейную интегральную оценку можно представить в виде:

(2.98.)

Графическое представление линейной интегральной оценки качества регулирования по задающему воздействию изображено на рисунке 91.

Рис.91. Графическое представление линейной интегральной оценки качества

регулирования по задающему воздействию

Линейная интегральная оценка при анализе качества регулирования системы по возмущающему воздействию определяется с помощью импульсной переходной функции w(t ) и выражается в виде:

(2.99.)

Рассмотренные линейные интегральные оценки качества регулирования подходят только для анализа процессов, выраженных в монотонной форме, поэтому наиболее часто применяют квадратичную интегральную оценку, которая подходит и для колебательных процессов. Квадратичная интегральная оценка не зависит от знака δ(t) и выражается подобным образом:

(2.100.)

Рассмотрим метод, с помощью которого возможно определение квадратичной интегральной оценки, без решения характеристического уравнения. С учетом того, что

(2.101.)

и проинтегрировав │δ( jω)│² по ω, получим следующее выражение квадратичной интегральной оценки:

(2.102а.)

(2.102б.)

Для того, чтобы полнее учесть влияние величины ошибки и скорости ее изменения применяют интегральную оценку по скорости, которая выражается в следующем виде:

(2.103.)

γ – является весовым коэффициентом, указывающим на значимость интегрируемой производной функции.

Кроме интегральной оценки по скорости, в некоторых случаях применяют интегральную оценку качества регулирования по ускорению, которая выражается, как:

(2.104.)

где γ₁, γ₂ – весовые коэффициенты, указывающие на значимость интегрируемых производных функций.

Все вышеперечисленные интегральные оценки качества регулирования САУ могут быть приведены к необходимым численным значениям путем изменения параметров системы, т.к. данные оценки напрямую зависят от свойств САУ.