Пример определения запаса устойчивости сау с помощью критерия Найквиста

Необходимо определить запас устойчивости САУ на основе следующих данных объекта управления и И – регулятора:

k_о = 0,26, T_о = 0,1 с, ξ = 0,45, k_и = 20

Решение:

Передаточная функция разомкнутой системы будет выглядеть следующим образом:

Подставим в формулу (2.62.) р = jω и получим:

Подставив числовые значения, получим:

С помощью полученного выражения строим годограф W_р ( jω), вид которого представлен на рисунке 81.

Рис.81. Годограф W_р ( jω)

На основании анализа годографа можно заметить, что он не охватывает точку с координатами ( −1; j0), пересекая действительную отрицательную ось в точке (0,58; j0). Полученные данные позволяют сделать вывод, что система устойчива и запас устойчивости по модулю составляет h = 4,76 дБ, а запас устойчивости по фазе γ = 47⁰.

2.18. Качество регулирования (точность процесса управления)

При расчете САУ необходимо учитывать не только устойчивость системы, т.к. и в устойчивой системе могут возникать переходные процессы, влияющие на точность управления и на время перехода из одного установившегося состояния в другое установившееся состояние. Поэтому САУ должна обладать необходимым качеством регулирования, которое определяется величиной ошибки управления δ (t), являющейся разностью между заданным y_з(t) и фактическим y(t) значениями управляемого параметра:

δ (t) = y_з (t) − y(t) (2.65.)

Для получения необходимой точности процесса управления выделяют две функции САУ, характеризующиеся:

а) воспроизведением управляющего воздействия,

б) подавлением или компенсацией возмущения.

Звенья систем обладают некоторой инерционностью, которая увеличивает инерционность системы в целом, поэтому указанные функции всегда имеют некоторую погрешность, а значит, δ (t) ≠ 0, т.е. ошибка существует. Значение ошибки не может быть определено теоретическим путем, т.к. в процессе функционирования САУ совокупность задающих и возмущающих воздействий может изменяться стохастически. Для удобства расчетов качества регулирования используют критерии качества, которые количественно могут охарактеризовать точность процесса управления раздельно, как в установившихся, так и в переходных процессах.

2.19. Качество процесса управления сау в установившемся режиме

Для большей наглядности мы будем рассматривать структурную схему одноконтурной системы, представленную на рисунке 82.

Рис.82. Структурная схема одноконтурной САУ

Упростим структурную схему, преобразовав ее в соответствии с правилами преобразования, к следующему виду:

Рис.83. Упрощенная структурная схема одноконтурной САУ

Для того, чтобы согласовать сигналы u_з(t) и u_ос(t), необходимо подобрать одинаковые передаточные функции W_БЗ (р) и W_БИ(р), поэтому должно выполняться равенство

W_БЗ (р) = W_БИ(р). С учетом этого условия структурную схему системы можно будет представить в виде, изображенном на рисунке 84, где ошибку регулирования δ (t), можно выразить в тех же единицах измерения, что и значения задающего параметра y_з(t) и выходного параметра y(t).

Рис.84. Структурная схема САУ после преобразования

В данном случае изображение ошибки регулирования Δ входит в формулу для определения сигнала рассогласования, который можно выразить, как:

ΔU(р) = Δ(р) W_БИ(р) (2.66.)

Ошибка δ(t) зависит от величины параметров задающего и возмущающего воздействий, поэтому ее значение можно выразить, как сумму ошибок данных воздействий и представить, как:

δ(t) =δ_y(t) + δ_f(t) (2.67.)

Выразим передаточные функции в следующем виде:

(2.68.)

и

(2.69.)

Передаточную функцию разомкнутого контура мы выразили, как:

W_рк (р) =W_БИ(р) W_БУ (р) W_ОУ(р) (2.70.)

Следовательно, исходя из выражений (2.68.) и (2.69.) величину изображения ошибки можно представить следующим образом:

(2.71.)

Существуют типовые законы оценки установившегося режима, которыми установлены

следующие условия:

а) задающее и возмущающее воздействия постоянны и не изменяются во времени, т.е.

y_з(t), f (t) = const (2.72.)

б) изменения в системе происходят с постоянной скоростью, т.е.

y_з (t) = a t и f (t) = const (2.73.)

в) изменения в системе происходят с постоянным ускорением, т.е.

y(t) = b t²/2 и f (t) = const (2.74.)

г) изменения в системе происходят по гармоническому закону, т.е.

y_з (t) = y₀ sin(ω t) и f (t) = const (2.75.)

Статической ошибкой называется значение ошибки регулирования δ (∞) при постоянной величине входного воздействия.

Статической системой называется система, у которой при постоянной величине входного воздействия, значения ошибок входного и возмущающего воздействий не равны нулю.

Статической по возмущающему воздействию называется система, у которой при постоянной величине входного воздействия, при значении ошибки входного воздействия равной нулю, ошибка возмущающего воздействия не равна нулю.

Астатической называется система, у которой значения ошибок входного и возмущающего воздействий равны нулю.

Астатической по задающему воздействию называется система, у которой значение ошибки входного воздействия не равно нулю, а ошибка возмущающего воздействия равна нулю.

Так как значение передаточной функции разомкнутого контура выражается следующим образом:

(2.76.)

в данном случае , r - количество нулевых корней полинома A(р) или порядок астатизма системы.

Существование системы статической по задающему воздействию и астатической по возмущающему воздействию является невозможным.

Точность статической системы улучшается с увеличением передаточного коэффициента разомкнутого контура k_рк.

Существует также коэффициент статизма системы, который вычисляется по формуле:

s = 1 / 1 + k_рк (2.77.)

Считается, что при величине коэффициента статизма s = 0,1 ÷ 0,01, точность

регулирования системы является удовлетворительной, поэтому коэффициент передачи

разомкнутого контура статической системы должен составлять k_рк = 10 ÷ 100.