Пример определения устойчивости сау с помощью критерия Михайлова
Необходимо определить устойчивость САУ, структурная схема которой представлена на рисунке 65, числовые значения данных представлены в таблице на рисунке 66.
Решение:
Характеристическое уравнение данной системы имеет вид:
D(s) = (2.42.)
Подставив в
уравнение
,
получим:
(2.45.)
Преобразуем уравнение в следующий вид:
(2.46.)
Выделим действительную и мнимую части:
;
(2.47.)
Для построения годографа Михайлова составим таблицу значений (рисунок 70):
-
0
7.817
13.176
132.9
19.35
0
−35.49
0
0
5.0654
0
−13386.75
Рис.70. Таблица значений
С помощью таблицы значений построим на комплексной плоскости годограф Михайлова и представим его на рисунке 71.
Рис.71. Годограф Михайлова
Анализируя
годограф на рисунке 71 в соответствии с
критерием Михайлова можно сделать
вывод, что САУ устойчива, т.к. годограф
начинается на действительной оси и с
ростом ω
от 0 до
обходит последовательно в положительном
направлении 4 квадранта комплексной
плоскости.
2.13.2. Критерий Найквиста
В 1932 г. американский физик Найквист сформулировал критерий устойчивости САУ, позволяющий судить об устойчивости замкнутой системы по АФЧХ ее разомкнутого контура. Критерий Найквиста сформулирован следующим образом – если САУ устойчива в разомкнутом состоянии, то необходимым и достаточным условием ее устойчивости в замкнутом состоянии будет условие, чтобы АФЧХ разомкнутой системы при изменении частоты от 0 до + не охватывала на комплексной плоскости точку с координатами (-1; j0).
Из определения разомкнутой системы вытекает, что входная величина системы является входной величиной первого звена прямой цепи, а выходной величиной разомкнутой системы является выходная величина последнего звена цепи обратной связи. Для замкнутой системы передаточная функция разомкнутой системы примет следующий вид:
(2.48.)
Заменив в формуле передаточной функции разомкнутой системы (2.48.)
р = j, получим АФЧХ разомкнутой системы n - ного порядка:
(2.49.)
Указанную АФЧХ разомкнутой системы построим на комплексной плоскости при увеличении частоты от 0 до + , что показано на рисунке 72.
Рис.72. Критерий устойчивости Найквиста:
1 – АФЧХ устойчивой системы, 2 – АФЧХ системы на границе
устойчивости, 3 – АФЧХ неустойчивой системы
В случае, когда АФЧХ разомкнутой системы пройдет через точку с координатами
(-1; j0), как видно из рисунка 72 (график 2), система будет находиться на колебательной границе устойчивости. В случае, когда АФЧХ разомкнутой системы будет охватывать точку с координатами (-1; j0), замкнутая система будет являться неустойчивой (рисунок 72, график 3).