3.2. Особенности устойчивости нелинейных систем

Дифференциальное уравнение замкнутой системы регулирования n - ro порядка можно преобразовать в систему n - дифференциальных уравнений первого порядка:

(3.2.)

где х₁ – значение регулируемого параметра, x₂, ..., х_n — вспомогательные переменные, z и х₀ – значения возмущающего и задающего воздействий.

Рассмотрим уравнение третьего порядка, имеющее три переменных: х₁, х₂, x₃, которые представлены на рисунке 92, как координаты точки М', определяющие состояние системы в какой-то момент времени. Переменные х₁, х₂, x₃ изменяются во времени в соответствии с влиянием на систему внутренних и внешних факторов, поэтому точка М' перемещается в пространстве, описывая траекторию, которая является хорошим наглядным примером поведения системы в процессе управления, что изображено на рисунке 92,а.

Пространство, в котором движется изображающая точка, в нашем случае (х₁, х₂, x₃), называется фазовым пространством, точка М' — изображающей точкой, траектория точки М' – фазовой траекторией. Фазовым портретом называется совокупность фазовых траекторий, полученных при различных начальных условиях. Фазовой плоскостью называется плоскость, в которой движется изображающая точка, при наличии в уравнении всего двух переменных (уравнение второго порядка). На рисунке 92,б изображена фазовая плоскость, где одной координатой точки М' является регулируемая величина х, а другой – скорость изменения регулируемой величины dx/dt = h.

Рис.92. Графическое представление процесса управления:

а) в фазовом пространстве, б) на фазовой плоскости

Различные переходные процессы, происходящие в линейных системах, имеют различные фазовые траектории. На рисунке 93 изображено соответствие изменения положения точки М_i при колебательном процессе (рисунок 93,а) изменению положения точки М_i' на фазовой плоскости (рисунок 93,б), причем (х > 0, х' = 0).

Рис.93. Графическое представление затухающего колебательного процесса в

устойчивой системе (а) и их изображение на фазовой плоскости (б)

Точке М₂ при колебательном процессе соответствует точка М₂’ на фазовой плоскости (х = 0, х’ = h < 0). Точке М₃ соответствует точка М₃' (х < 0, х' = 0). На графике видно, что фазовая траектория стремится к нулю в точке М₆ (х = 0, х' = h = 0). Пунктиром на графиках рисунка 93 изображены характеристики апериодического переходного процесса. Следовательно, при затухающем колебательном или апериодическом процессе направление фазовой траектории стремится к нулю.

На рисунке 94 изображены расходящиеся колебательный и апериодический процессы и соответствующие им фазовые траектории, при которых система является неустойчивой.

Рис.94. Графическое представление расходящихся переходных процессов в

неустойчивой системе (а) и их изображение на фазовой плоскости (б)

На рисунке 95 представлен незатухающий колебательный процесс, особенность его фазовой траектории в том, что она замкнута.

Рис.95. Графическое представление незатухающих колебаний (а) и изображение на

фазовой плоскости (б)

Существуют правила построения фазовых траекторий на координатной плоскости х и х' = h:

1) изображающая точка всегда движется справа налево в нижней полуплоскости и слева направо в верхней,

2) фазовые траектории всегда пересекают ось абсцисс под прямым углом,

3) фазовые траектории не пересекаются.

На практике при анализе нелинейной системы по виду фазовой траектории определяют характер переходного процесса, устойчивость системы, параметры колебаний и др. необходимые значения. Для уравнений второго порядка из дифференциального уравнения получают дифференциальное уравнение фазовых траекторий, далее его интегрируют и строят фазовые траектории при различных начальных условиях.