2.5. Действующее и среднее значения синусоидальной величины.

Для характеристики энергетического действия синусоидального тока пользуются понятием действующего значения тока и напряжения.

Действующее значение синусоидального тока численно равно постоянному току, который за время периода Т выделяет в резистивном элементе с сопротивлением R такое же количество тепла (Q_ ), как и ток синусоидальный (Q _~).

Иными словами, действующее значение синусоидального тока и эквивалентный ему постоянный ток оказывают одинаковый тепловой эффект.

Q_ = Q _~. (2.25)

Количество тепла, выделяемое за период Т синусоидальным током в элементе цепи с сопротивлением R:

. (2.25)

Количество тепла, выделяемое за тот же период времени Т постоянным током:

(2.27)

Отсюда действующее значение синусоидального тока:

. (2.28)

Действующее значение синусоидального тока является его средне-квадратичным значением за период.

Аналогичные выражения можно записать для действующих значений синусоидальных ЭДС и напряжения:

; . (2.29)

Следует отметить, что электроизмерительные приборы электромагнитной, электродинамической и тепловой систем измеряют действующие значения соответствующих величин.

2.6. Идеальные элементы в цепи синусоидального тока

Реальные электротехнические устройства могут обладают активным сопротивлением R , индуктивностью L и емкостью С (см. раздел "Электрические цепи постоянного тока). При анализе электрической цепи реальные устройства в схеме замещения представляют совокупностью идеальных элементов: резистора, индуктивного элемента и емкостного элемента. Однако влияние каждого из параметров на ток в цепи различно.

Для расчета и анализа электрической цепи синусоидального тока необходимо знать соотношение между током и напряжением по величине и по фазе на каждом из идеальных элементов. При этом необходимо представить это соотношение в комплексной форме изображения синусоидальных величин и на векторной диаграмме.

Ниже проведен анализ соотношения синусоидального тока и напряжения на каждом из идеальных элементов.

Идеальный резистор в цепи синусоидального тока

На рис. 2.8 показана простейшая цепь синусоидального тока, содержащая идеальный резистор с сопротивлением R, подключенный к источнику синусоидального напряжения u. Под действием напряжения в резисторе возникает синусоидальный ток i. На схеме указаны условно-положительные направления напряжений и тока. Положительное направление напряжения u_R и тока i в резисторе совпадают.

Необходимо определить соотношение между синусоидальными током и напряжением по величине и по фазе.

Рис. 2.8. Схема цепи с идеальным резистивным элементом

Синусоидальное напряжение источника изображается в виде:

u = U_msin(ωt+ψ_u). (2.30)

Необходимо установить характер изменения тока в этом резисторе, т.е. определить амплитуду I_m и начальную фазу ψ_i этого тока.

Ранее сформулированы законы Ома и Кирхгофа применительно к цепям постоянного тока. Эти законы справедливы и для цепей переменного тока, но только для реально существующих в каждый момент времени мгновенных значений величин.

По закону Ома для мгновенных значений

(2.31)

По второму закону Кирхгофа для заданной цепи:

. (2.32)

Тогда ток в цепи

. (2.33)

Из выражения (2.33) следует:

• в рассматриваемой цепи устанавливается синусоидальный ток с амплитудой

(2.34)

и действующим значением

, (2.35)

т.е. соотношение по величине между синусоидальными током и напряжением определяется законом Ома аналогично мгновенным значениям;

• начальная фаза тока равна начальной фазе напряжения Ψ_i = Ψ_u , при этом разность фаз, определяемая выражением (10) ,

, (2.36)

то есть напряжение и ток, в резистивном элементе совпадают по фазе.

При графическом изображении временными диаграммами синусоиды напряжения u_R (t) и тока i (t) – подобны. Например, на рис. 2.9а) показаны временные диаграммы тока и напряжения при начальной фазе, равной нулю (Ψ_i = Ψ_u = 0).

При аналитическом изображении комплексными числами с учетом действующих значений комплексное напряжение имеет вид:

, (2.37)

Комплексный ток:

. (2.38)

Соотношение комплексных напряжения и тока с учетом (2.35) и (2.36):

, (2.39)

или . (2.40)

Рис. 2.9 . Изменение во времени мгновенных значений u_R, i, р_R

Полученное выражение (2.40) определяет закон Ома в комплексной форме для идеального резистивного элемента в цепи синусоидального тока: комплексный ток прямо пропорционален комплексному напряжению и обратно пропорционален сопротивлению резистора.

При графическом изображении на векторной диаграмме направление векторов тока и напряжения определяется их начальными фазами. В частности в резисторе, как следует из (2.36) , Ψ_i = Ψ_u . Следовательно на векторной диаграмме векторы тока и напряжения направлены одинаково (рис. 2.10).

При изменении начальной фазы напряжения оба вектора повернутся на соответствующий угол. Однако взаимное относительное направление векторов не меняется: они совпадают по направлению. Это отражает свойства идеального резистора. Угол между векторами напряжения и тока на векторной диаграмме определяет разность фаз φ . В частности в резисторе φ = 0.

Рис. 2.10. Векторная диаграмма цепи с резистором

Для анализа энергетических соотношений в цепи с идеальным резистором определим характер мощности в этой цепи.

Мгновенное значение мощности в любом элементе электрической цепи определяется произведением мгновенных значений тока и напряжения:

p = u_Ri. (2.41)

Примем начальную фазу, равной нулю (Ψ_i = Ψ_u = 0). При синусоидальном токе и напряжении, принимая во внимание (2.41), мгновенная мощность в резисторе:

(2.42)

или перейдя к действующим значениям напряжения и тока ( и ):

. (2.43)

Полученное выражение (2.43) описывает характер изменения мгновенной мощности в идеальном резисторе.

Для наглядного представления на рис. 2.9б построен график изменения мощности, соответствующий выражению (2.43).

Из выражения (2.43) и на графике рис. 2.9б видно, что в цепи с идеальным резистивным элементом мгновенная мощность изменяется по синусоидальному закону с двойной частотой вокруг среднего значения, которое определяется первым слагаемым в (2.43).

При этом в течение всего периода мощность остается положительной. Это значит, что независимо от направления тока электрическая энергия всегда поступает от источника в идеальный резистивный элемент и необратимо преобразуется в другие виды энергии, совершая полезную работу.

Электрическая энергия в этом случае называется активной.

Среднее за период значение мощности называется активной мощностью и обозначается P:

. (2.44)

Т.е. активная мощность резистора равна произведению действующих значений напряжения и тока.

С учетом соотношения тока и напряжения по закону Ома (2.35) активная мощность цепи с резистивным элементом:

. (2.45)

Единицы активной мощности Р – Вт, кВт, МВт.

Сопротивление

(2.46)

называется активным сопротивлением в цепи синусоидального тока.