Идеальный индуктивный элемент в цепи синусоидального тока.

На рис. 2.11 показана простейшая цепь синусоидального тока, содержащая идеальный индуктивный элемент с индуктивностью L, подключенный к источнику синусоидального напряжения u. Под действием напряжения в цепи возникает синусоидальный ток i. На схеме указаны условно-положительные направления напряжений и тока. Положительное направление напряжения u_L и тока i совпадают.

Необходимо определить соотношение между синусоидальными током и напряжением по величине и по фазе.

Рис. 2.11. Схема цепи с идеальным индуктивным элементом

Синусоидальный ток с амплитудой I_m и начальной фазой ψ_i изображается в виде:

i = I_msin(ωt+ψ_i) . (2.47)

Необходимо установить характер изменения напряжения в этом индуктивном элементе, т.е. определить амплитуду U_m и начальную фазу ψ_u этого напряжения.

Синусоидальный ток создает переменное магнитное поле, которое, наводит в индуктивном элементе ЭДС самоиндукции. Условно-положительное направление ЭДС самоиндукции принимают противоположным условно-положительному направлению тока, который вызывает возникновение этой ЭДС (рис. 2.11).

Величина этой ЭДС с учетом условно-положительного направления:

. (2.48)

На основании второго закона Кирхгофа для рассматриваемой цепи можно записать:

u = u_L и u_L = e_L (2.49)

или . (2.50)

С учетом (2.47) получим:

(2.51)

или

. (2.52)

Из выражения (2.52) следует:

• напряжение на индуктивном элементе изменяется по синусоидальному закону с амплитудой

(2.53)

и действующим значением

. (2.54)

• начальная фаза напряжения больше начальной фазы тока на π/2, при этом разность фаз, определяемая выражением (10) ,

, (2.55)

то есть напряжение на индуктивном элементе опережает ток по фазе на угол

φ = π/2.

Соотношение (2.54) между током и напряжением по величине может быть представлено в виде:

, (2.55)

где величина называется индуктивным сопротивлением.

Единица индуктивного сопротивления – Ом.

Таким образом, соотношение по величине между током и напряжением индуктивного элемента определяется законом Ома подобно идеальному резистору: действующее значение тока индуктивного элемента прямо пропорционально действующему значению напряжения и обратно пропорционально индуктивному сопротивлению.

При графическом изображении временными диаграммами синусоида напряжения u_L (t) сдвинута относительно синусоиды тока i (t) в сторону опережения на угол φ = π/2 . Например, на рис. 2.12а) показаны временные диаграммы тока и напряжения при начальной фазе тока, равной нулю (Ψ_i = 0).

Рис. 2.12. Графики изменения во времени мгновенных значений u_L, i, р_L

При аналитическом изображении комплексными числами с учетом действующих значений комплексное напряжение имеет вид:

, (2.57)

Комплексный ток:

. (2.58)

Соотношение комплексных напряжения и тока с учетом (2.55) и (2.56):

, (2.59)

или . (2.60)

Здесь - комплексное индуктивное сопротивление.

Полученное выражение (2.60) определяет закон Ома в комплексной форме для идеального индуктивного элемента в цепи синусоидального тока: комплексный ток прямо пропорционален комплексному напряжению и обратно пропорционален комплексному индуктивному сопротивлению.

При графическом изображении на векторной диаграмме направление векторов тока и напряжения определяется их начальными фазами. В частности в индуктивном элементе, как следует из (2.55) , Ψ_u = Ψ_i+π/2 . Следовательно, на векторной диаграмме вектор напряжения повернут относительно вектора тока на угол π/2 в сторону опережения (против часовой стрелки) (см. рис. 2.13).

При изменении начальной фазы напряжения оба вектора повернутся на соответствующий угол. Однако взаимное относительное направление векторов не меняется: угол между ними равен π/2. Это отражает свойства идеального индуктивного элемента. Угол между векторами напряжения и тока на векторной диаграмме определяет разность фаз φ . В частности в индуктивном элементе φ = π/ 2.

Рис. 2.13. Векторная диаграмма цепи с индуктивным элементом.

Для анализа энергетических соотношений в цепи с идеальным индуктивным элементом определим характер мощности в этой цепи.

Примем начальную фазу тока, равной нулю (Ψ_i = 0). При этом начальная фаза напряжения Ψ_u = π/2. Исходя из (52), мгновенная мощность в индуктивном элементе:

, (2.61)

или перейдя к действующим значениям напряжения и тока ( и ):

. (2.62)

Полученное выражение (2.62) описывает характер изменения мощности в идеальном индуктивном элементе.

Для наглядного представления на рис. 2.12б построен график изменения мощности, соответствующий выражению (2.62).

Из выражения (2.62) и на графике рис. 2.12б видно, что в цепи с идеальным индуктивным элементом мгновенная мощность изменяется по синусоидальному закону с амплитудой U_LI с двойной частотой 2ω .

При этом в течение периода значение мгновенной мощности меняет знак через каждую четверть периода. При р_L > 0 – электрическая энергия от источника поступает в цепь и преобразуется в энергию магнитного поля в индуктивном элементе. При р_L < 0 – энергия, запасенная в магнитном поле, полностью возвращается к источнику.

Среднее за период значение мгновенной мощности или активная мощность равна нулю:

(2.63)

Т.е. в индуктивном элементе не происходит необратимое преобразование электрической энергии в другие виды энергии. При этом происходит непрерывный колебательный процесс обмена энергией между источником и магнитным полем индуктивного приемника. Это обратимый процесс преобразования энергии.

Для характеристики интенсивности этого процесса используют понятие реактивной индуктивной мощности Q_L. Ее величину определяют амплитудой колебания мгновенной мощности p_Lmax. Исходя из (2.62):

. (2.64)

Т.е. реактивная мощность индуктивного элемента равна произведению действующих значений напряжения и тока.

С учетом соотношения тока и напряжения по закону Ома (2.56) реактивная индуктивная мощность цепи с идеальным индуктивным элементом:

. (2.65)

Индуктивное сопротивление

. (2.66)

Единицы реактивной индуктивной мощности Q_L – Вар, КВАр, МВАр.