Метод контурных токов.

Метод контурных токов позволяет свести задачу расчета электрической цепи к решению системы уравнений меньшего порядка. Это упрощает расчет и делает этот метод более предпочтительным по сравнению с методом непосредственного применения законов Кирхгофа.

Рассмотрим метод контурных токов на примере той же цепи (см. рис. 1.10).

Любая сложная цепь состоит из нескольких смежных контуров, каждый из которых имеет несмежные ветви, принадлежащие лишь данному контуру и смежные, входящие в состав соседних контуров.

Метод контурных токов основан на допущении, что в каждом контуре имеется контурный ток, одинаковый для всех элементов этого контура.

Положительные направления токов ветвей, как и раньше, выбираются в начале расчета произвольно. Положительные направления контурных токов также выбираются произвольно. Зная контурные токи легко определить реальные токи в ветвях.

Например, для несмежных ветвей значения контурных токов и токов ветвей равны по величине, а знаки определяются в зависимости от выбранных направлений контурных токов и токов в ветвях.

В смежных ветвях токи определяются алгебраической суммой контурных токов соседних контуров с учетом их положительных направлений.

Таким образом, для рассматриваемой цепи (рис. 1.10):

I₁ = I_А; (1,36)

I₃ = I_Б; (1.37)

I₆ = I_С; (1.38)

I₂ = I_Б - I_С; (1.39)

I₄ = I_А + I_Б; (1.40)

I₅ = I_А + I_С; (1.41)

Для составления системы уравнений по методу контурных токов составим уравнения по II закону Кирхгофа для независимых контуров рассматриваемой цепи с учетом соотношения тока и напряжения на резисторах по закону Ома:

Для контура А:

I₁R₁ + I₄R₄ + I₅R₅ = E₁ (1.42)

Для контура Б:

I₂R₂ + I₄R₄ + I₃R₃ = E₂ (1.43)

Для контура С:

- I₂R₂ + I₅R₅ = - E₂ + E₃ (1.44)

В составленных уравнениях выразим токи ветвей через контурные токи в соответствии с (1.36) – (1.41):

Для контура А:

I_А R₁ + (I_А + I_Б )R₄ + (I_А + I_С )R₅ = E₁ (1.45)

Для контура Б:

(I_Б - I_С )R₂ + (I_А + I_Б )R₄ + I_Б R₃ = E₂ (1.46)

Для контура С:

- (I_Б - I_С )R₂ + (I_А + I_С )R₅ = - E₂ + E₃ (1.47)

В левой части полученных уравнений объединим слагаемые с одинаковыми контурными токами:

Для контура А:

I_А (R₁ + R₄ + R₅) + I_Б R₄ + I_С R₅ = E₁ (1.48)

Для контура Б:

I_АR₄ + I_Б (R₂ + R₃ + R₄) - I_С R₂ = E₂ (1.49)

Для контура С:

I_АR₅ - I_БR₂ + I_С (R₂+ R₅) = - E₂ + E₃ (1.50)

Таким образом, в полученной системе уравнений (1.48) – (1.50) неизвестными являются контурные токи, коэффициенты при неизвестных и свободные члены определяются заданными параметрами элементов цепи. Решая эту систему уравнений можно определить контурные токи. Далее в соответствии с (1.36) – (1.41) поочередно определяются токи ветвей.

Таким образом, рассмотренный метод контурных токов также как и предыдущий метод позволяет свести задачу расчета электрической цепи к решению системы уравнений, составленных по основным законам электрических цепей. Однако порядок системы уравнений оказывается существенно меньшим (3 вместо 6 в предыдущем методе).

Расчет мощностей и составление баланса мощности проводится аналогично предыдущему методу.

Метод эквивалентных преобразований

Некоторые сложные электрические цепи содержат несколько приемников, но только один источник. Такие цепи могут быть рассчитаны методом эквивалентных преобразований. В основе этого метода лежит возможность преобразования двух последовательно соединенных или параллельно соединенных резисторов R₁ и R₂ к одному эквивалентному R_экв (см. рис.1. 11).

Рис. 1.11. Эквивалентные преобразования в электрической цепи

Для определения эквивалентного сопротивления R_экв следует воспользоваться основными законами электрических цепей.

Рассмотрим преобразование последовательно соединенных элементов (см. рис. 1.12).

Рис. 1.12. Эквивалентное преобразование последовательно соединенных элементов

Рис. 1.13. Эквивалентное преобразование параллельно соединенных элементов

Условием эквивалентного преобразования должно быть сохранение тока и напряжения рассматриваемого участка:

I = I_экв , U = U_экв (1.51)

Для исходного участка цепи по II закону Кирхгофа с учетом закона Ома для каждого из двух последовательно соединенных элементов:

U = U₁ + U₂ = R₁I + R₂I = (R₁ + R₂)I . (1.52)

Для эквивалентного элемента по закону Ома:

U_экв = R_экв I_экв . (1.53)

С учетом условий эквивалентного преобразования (51)

U = U_экв = (R₁ + R₂)I = (R₁ + R₂)I_экв = R_экв I_экв . (1.54)

Отсюда R_экв = (R₁ + R₂). (1.55)

Это соотношение определяет сопротивление элемента, эквивалентного двум последовательно соединенным элементам.

Для двух параллельно соединенных элементов (см. рис. 1.13) по I закону Кирхгофа с учетом закона Ома для каждого из двух параллельно соединенных элементов:

I = I₁ + I₂ = U/R₁ + U/R₂ = U(1/R₁ + 1/R₂). (1.56)

Для эквивалентного элемента по закону Ома:

I_экв = U_экв/R_экв . (1,57)

С учетом условий эквивалентного преобразования (1.51)

I = I_экв = U(1/R₁ + 1/R₂) = U_экв(1/R₁ + 1/R₂) = U_экв/R_экв, (1.58)

отсюда 1/R_экв = 1/R₁ + 1/R₂ (1.59)

или R_экв = (R₁ R₂)/(R₁ + R₂). (1.60)

Это соотношение определяет сопротивление элемента, эквивалентного двум параллельно соединенным элементам.

Соотношения (1.55), (1.60) позволяют проводить поэтапные эквивалентные преобразования сложной электрической цепи с несколькими приемниками и осуществлять расчет такой цепи.

Например, на рис. 1.14а показана схема сложной электрической цепи, содержащей один источник и несколько приемников электроэнергии, соединенных как показано на схеме.

а б в

Рис. 1.14. Расчет цепи методом эквивалентных преобразований

При заданных параметрах всех элементов цепи (E, R₁, R₂, R₃) расчет может быть проведен методом эквиваленьных преобразований следующим образом.

На первом этапе преобразования два параллельно соединенных резистора R₁ и R₂ заменяются одним эквивалентным (см. рис. 1.14б) с сопротивлением R_экв12, равным

R_экв12 = (R₁* R₂)/(R₁ + R₂). (1.61)

При этом образуется эквивалентная цепь, в которой содержатся два резистора R_экв12 и R₃, соединенные последовательно. Напряжение U_ab в эквивалентной цепи соответствует напряжению U_ab в исходной цепи, а ток в эквивалентной цепи соответствует току в неразветвленной части исходной цепи.

На втором этапе преобразования два последовательно соединенных резистора R_экв12 и R₂ заменяются одним эквивалентным (см. рис. 1.14в) с сопротивлением R_экв123, равным

R_экв123 = R_экв12 + R₃ . (1.62)

При этом образуется простая эквивалентная цепь, в которой содержится один резистор R_экв123. Ток в этой цепи соответствует току в неразветвленной части исходной цепи и определяется по закону Ома:

I = U_ac/ R_экв123 = E/ R_экв123 . (1.63)

Дальнейший расчет ведется по закону Ома, следуя по этапам эквивалентных преобразований в обратном порядке.

Для эквивалентной цепи на рис. 1.14б:

U_ab = I* R_экв12 ; (1.64)

U_bc = I* R₃ . (1.65)

Для исходной цепи на рис. 1.14а :

I₁ = U_ab/R₁ ; (1.66)

I₂ = U_ab/R₂ . (1.67)

Таким образом, описанный метод эквивалентных преобразований позволяет рассчитать сложную электрическую цепь, не сводя задачу к решению системы уравнений, а путем последовательных вычислений. Однако этот метод применим к цепям, содержащим лишь один источник ЭДС

Метод двух узлов

Среди множества электрических цепей некоторые могут обладать определенными особенностями. Например, на рис. 1.15 показана схема цепи, в которой параллельно соединены два источника энергии (генератор и аккумулятор) и два приемника (осветительная лампа и нагревательный элемент). В этой цепи могут содержаться другие элементы, подключенные параллельно к одним и тем же зажимам "а" и "b". Эта цепь содержит несколько ветвей и несколько контуров. Поэтому ее, как и ранее рассмотренные, следует отнести к категории сложных электрических цепей. Однако, ее особенность в том, что она содержит только два узла "а" и "b", между которыми подключены все параллельные ветви.

Рис. 1.15. Электрическая цепь с параллельным соединением ветвей

Для расчета такой цепи может использоваться метод двух узлов.

На рис. 1.16 показана схема замещения подобной цепи. В общем случае каждая ветвь может содержать идеальный источник ЭДС и резистор. Количество таких ветвей неограниченно. Все ветви соединены между точками "a" и "b" цепи.

Рис. 1.16 Схема замещения цепи с двумя узлами

Обозначим напряжение между узлами "a" и "b" U_ab с положительным направлением от узла, "a" к узлу "b" . Примем условно-положительные направления токов во всех ветвях одинаковое - от узла "b" к узлу "a".

Рассмотрим контур, содержащий первую ветвь и напряжение U_ab . Для этого контура составим уравнение по II закону Кирхгофа с учетом Закона Ома:

. (1.68)

Отсюда ток ветви:

, (1.69)

где - проводимость ветви.

Рассматривая аналогичные контуры, содержащие каждую из оставшихся ветвей, можно записать аналогичные выражения для токов каждой ветви. Для n-ой ветви:

(1.70)

По I закону Кирхгофа для узла "а":

, (1.71)

или подставив выражения (1.69 – 1.70),

. (1.72)

Отсюда можно выразить напряжение между узлами "a" и "b" через заданные параметры элементов схемы:

. (1.73)

Напряжение между двумя узлами цепи с несколькими параллельными ветвями равно отношению алгебраической суммы произведений ЭДС и проводимостей каждой ветви к сумме проводимостей всех ветвей.

Произведение E_kG_k берут со знаком «плюс», если направления ЭДС ветви E_k соответствует указанному на схеме рис. 1.16. Если направление ЭДС противоположно, то его значение подставляют со знаком «минус».

Порядок расчета цепи этим методом следующий.

1. Определяют по формуле (1.73) значение узлового напряжения.

2. Находят по формулам (1.69 – 1.70) токи в ветвях.