2.4. Способы изображения синусоидальных величин.

При анализе электрических цепей синусоидального тока для учета двух параметров: величины и начальной фазы тока или напряжения, используют разные способы изображения синусоидальных величин:

- аналитически с помощью функции sin;

- графически в форме временной диаграммы;

- графически в форме векторной диаграммы;

- аналитически с помощью комплексных чисел.

Аналитический способ с помощью функции sin

Способ заключается в изображении синусоидальных величин при помощи уравнений с тригонометрическими функциями:

,

, (2.13)

.

Графический способ в форме временной диаграммы

При этом способе мгновенные значения синусоидальных токов, напряжений, ЭДС изображаются в виде графических зависимостей от времени i(t), u(t), e(t) или аргумента тригонометрической функции i(ωt), u(ωt), e(ωt). На рис. 2.5 приведен пример графического изображения i(ωt), u(ωt), e(ωt). Здесь ψ_i > 0, ψ_u > 0, ψ_е < 0, причем ψ_u > ψ_i.

При изображении синусоидальных тока и напряжения на временной диаграмме величина (амплитудное значение) определяется на графике масштабом по оси ординат, а начальная фаза тока и напряжения смещением графика относительно начала координат по оси абсцисс. Разность фаз определяется отрезком на оси абсцисс между нулевыми значениями напряжения и тока. Например, на рис. 2.5. разность фаз φ > 0.

Рис. 2.5. Временная диаграмма синусоидальных напряжений, тока, ЭДС

Графический способ в форме векторной диаграммы

Для изображения синусоидального тока или напряжения на декартовой плоскости строят вектор, направленный под углом к оси абсцисс, равным начальной фазе (ψ_i или ψ_u) (см. рис. 2.6). Длина вектора должна соответствовать в масштабе величине (амплитуде) тока или напряжения (I_m или U_m). Эти векторы вращаются против часовой стрелки с угловой скоростью ω.

Рис. 2.6. Изображение синусоидальных напряжения и тока вращающимися векторами

Для любого момента времени проекции вращающихся векторов на ось ординат равны мгновенным значениям тока или напряжения. На рис. 2.6 обозначены мгновенные значения i и u для момента t = 0.

Совокупность векторов, изображающих синусоидальные величины одной частоты, называют векторными диаграммами.

При вращении векторов U_m и I_m с одинаковой угловой скоростью их взаимное расположение не меняется, и угол сдвига фаз φ останется постоянным. Поэтому векторные диаграммы строят для определенного момента времени. На рис. 2.6 векторная диаграмма построена для t = 0.

Таким образом, при изображении синусоидальных тока и напряжения на векторной диаграмме величина (амплитудное значение) определяется длиной вектора в масштабе, а начальная фаза тока и напряжения направлением вектора относительно оси абсцисс. Разность фаз определяется углом между векторами напряжения и тока. Например, на рис. 2.6 разность фаз φ > 0.

Аналитический способ с помощью комплексных чисел.

Векторная диаграмма, описанная выше, может быть построена на комплексной плоскости аналогичным образом (рис. 2.7).

Рис. 2.7. Изображение синусоидального тока вращающимся вектором на комплексной плоскости.

При этом горизонтальную ось декартовых координат совместим с осью вещественных значений которую обозначают символом "+", а вертикальную - с осью мнимых значений, которую обозначают "+ j".

Обозначим проекции вектора на вещественную и мнимую оси и соответственно. Мгновенное значение тока теперь получают на оси мнимых величин .

Известно, что каждому вектору на комплексной плоскости соответствует вполне определенное комплексное число, которое может быть записано в различных формах записи: алгебраической, показательной.

. (2.14)

Здесь - комплексная амплитуда тока, I_m – модуль комплексного тока, определяемый его амплитудой, ψ_i - аргумент комплексного тока, определяемый его начальной фазой, - вещественная часть комплексного тока, - мнимая часть комплексного тока.

Аргумент отсчитывают от положительного направления оси вещественных величин до вектора. При отсчете по направлению вращения вектора (против часовой стрелки), аргумент положительный, против вращения (по часовой стрелке) - отрицательный.

Взаимный переход показательной и тригонометрической форм записи основан на формуле Эйлера . Величина - поворотный множитель или оператор вращения.

Для преобразования из алгебраической формы записи в показательную модуль и аргумент комплексного числа определяются его вещественной и мнимой частью в виде:

; (2.15)

. (2.16)

Для преобразования из показательной формы записи в алгебраическую вещественная и мнимая части комплексного числа определяются его модулем и аргументом в виде:

; (2.17)

. (2.18)

Выражения, аналогичные (12) – (14), можно записать для комплексных амплитуд синусоидальных напряжения и ЭДС:

(2.19)

(2.20)

Изображение синусоидальных величин комплексными числами позволяет при анализе сложных электрических цепей заменить операции с векторами алгебраическими действиями с комплексными числами.

Метод расчета электрических цепей с применением комплексных чисел называется символическим.

Алгебраические действия с комплексными числами.

Пусть нам заданы два комплексных числа

, . (2.21)

Сложение и вычитание комплексных чисел производится только в алгебраической форме записи. При этом отдельно складываются вещественные и мнимые части. Например,

, (2.22)

где , .

Умножение и деление удобно выполнять в показательной форме записи комплексного числа по правилам умножения и деления показательных функций. При этом модуль произведения двух комплексных чисел определяется произведением модулей сомножителей, а аргумент произведения двух комплексных чисел – суммой аргументов сомножителей:

. (2.23)

При делении комплексных чисел:

. (2.24)

Таким образом, одна и та же величина, изменяющаяся во времени по синусоидальному закону, может быть изображена разными способами:

- аналитически с помощью функции sin;

- графически в форме временной диаграммы;

- графически в форме векторной диаграммы;

- аналитически с помощью комплексных чисел.

Все рассмотренные способы изображения синусоидальных величин позволяют проводить расчет и анализ электрических цепей синусоидального тока с учетом их главной особенности: изменения во времени тока и напряжения с определенной величиной (амплитудой) и начальной фазой. В зависимости от решаемой задачи может использоваться тот или другой способ.