Идеальный емкостный элемент в цепи синусоидального тока.

На рис. 2.14 показана простейшая цепь синусоидального тока, содержащая идеальный емкостный элемент с емкостью С, подключенный к источнику синусоидального напряжения u.

Рис. 2.14. Схема цели с идеальным емкостным элементом

Под действием напряжения в цепи возникает синусоидальный ток i. На схеме указаны условно-положительные направления напряжений и тока. Положительное направление напряжения u_L и тока i совпадают.

Необходимо определить соотношение между синусоидальными током и напряжением по величине и по фазе.

Синусоидальное напряжение с амплитудой U_m и начальной фазой ψ_u изображается в виде:

. (2.67)

Необходимо установить характер изменения тока в этом емкостном элементе, т.е. определить амплитуду I_m и начальную фазу ψ_i этого тока.

По второму закону Кирхгофа для рассматриваемой цепи:

. (2.68)

Мгновенные значения напряжения u_С и тока i в емкостном элементе связаны соотношением:

. (2.69)

При синусоидальном напряжении (78)

, (2.70)

или

. (2.71)

Из выражений (2.70), (2.71) следует:

• ток в емкостном элементе изменяется по синусоидальному закону с амплитудой

(2.72)

и действующим значением

. (2.73)

• начальная фаза тока больше начальной фазы напряжения на π/2, при этом разность фаз, определяемая выражением (10) ,

, (2.74)

то есть напряжение на емкостном элементе отстает от тока по фазе на угол π/2.

Соотношение (2.73) между током и напряжением по величине может быть представлено в виде:

, (2.75)

где величина называется емкостным сопротивлением.

Единица емкостного сопротивления – Ом.

Таким образом, соотношение по величине между током и напряжением емкостного элемента определяется законом Ома подобно идеальному резистору и индуктивному элементу: действующее значение тока емкостного элемента прямо пропорционально действующему значению напряжения и обратно пропорционально емкостному сопротивлению.

При графическом изображении временными диаграммами синусоида напряжения u_L (t) сдвинута относительно синусоиды тока i (t) в сторону отставания на угол π/2 . Например, на рис. 2.15а показаны временные диаграммы тока и напряжения при начальной фазе напряжения, равной нулю (Ψ_u = 0).

Рис. 2.15. Изменение во времени мгновенных зна­чении u_C,, i, р_C.

При аналитическом изображении комплексными числами с учетом действующих значений комплексное напряжение имеет вид:

(2.76)

Комплексный ток:

. (2.77)

Соотношение комплексных напряжения и тока с учетом (2.74) и (2.75):

, (2.78)

или. . (2.79)

Здесь - комплексное емкостное сопротивление.

Полученное выражение (90) определяет закон Ома в комплексной форме для идеального емкостного элемента в цепи синусоидального тока: комплексный ток прямо пропорционален комплексному напряжению и обратно пропорционален комплексному емкостному сопротивлению.

При графическом изображении на векторной диаграмме направление векторов тока и напряжения определяется их начальными фазами. В частности в емкостном элементе, как следует из (85) , Ψ_u = Ψ_i – π/2 . Следовательно на векторной диаграмме вектор напряжения повернут относительно вектора тока на угол π/2 в сторону отставания (по часовой стрелке) (см. рис. 2.16).

Рис. 2.16. Векторная диаграмма цепи с емкостным элементом.

При изменении начальной фазы напряжения оба вектора повернутся на соответствующий угол. Однако взаимное относительное направление векторов не меняется: угол между ними равен π/2. Это отражает свойства идеального емкостного элемента. Угол между векторами напряжения и тока на векторной диаграмме определяет разность фаз φ . В частности в емкостном элементе φ = -π/ 2.

Для анализа энергетических соотношений в цепи с идеальным емкостным элементом определим характер мощности в этой цепи.

Примем начальную фазу напряжения, равной нулю (Ψ_u = 0). При этом начальная фаза тока Ψ_i = π/2. Исходя из (2.41), мгновенная мощность в емкостном элементе:

(2.80)

или перейдя к действующим значениям напряжения и тока ( , ):

. (2.81)

Полученное выражение (2.81) описывает характер изменения мощности в идеальном емкостном элементе.

Для наглядного представления на рис. 2.15б построен график изменения мощности, соответствующий выражению (2.81).

Из выражения (2.81) и на графике рис. 2.15б видно, что в цепи с идеальным емкостным элементом мгновенная мощность изменяется по синусоидальному закону с амплитудой U_СI с двойной частотой 2ω .

При этом в течение периода значение мгновенной мощности меняет знак через каждую четверть периода. При р_С > 0 – электрическая энергия от источника поступает в цепь и преобразуется в энергию электрического поля в емкостном элементе. При р_С < 0 – энергия, запасенная в электрическом поле, полностью возвращается к источнику.

Среднее за период значение мгновенной мощности р_С, или активная мощность Р = 0.

Т.е. в емкостном элементе не происходит необратимое преобразование электрической энергии в другие виды энергии. При этом происходит непрерывный колебательный процесс обмена энергией между источником и электрическим полем емкостного приемника. То есть в этой цепи происходит обратимый процесс преобразования энергии.

Для характеристики интенсивности этого процесса используют понятие реактивной емкостной мощности Q_С. Ее величину определяют амплитудой колебания мгновенной мощности p_Сmax. Исходя из (92):

. (2.82)

Т.е. реактивная мощность емкостного элемента равна произведению действующих значений напряжения и тока.

С учетом соотношения тока и напряжения по закону Ома (2.75) реактивная емкостная мощность цепи с идеальным емкостным элементом:

. (2.83)

Емкостное сопротивление

. (2.84)

Единицы реактивной емкостной мощности Q_С – Вар, КВАр, МВАр.