3.8 Потеря полезной работы в необратимых процессах

Рассмотрим изолированную термодинамическую систему, включающую теплоотдатчик с температурой Т₁, теплоприемник с температурой Т₂ и рабочее тело, посредством которого совершается работа. Изолированная система может производить работу, только находясь в неравновесном состоянии. В данном случае неравновесность определяется различием температур теплоотдатчика и теплоприемника (Т₁ > Т₂). Когда температуры Т₁ и Т₂ сравняются, система потеряет способность производить работу.

Осуществляя с рабочим телом произвольный цикл, можно получить полезную работу. Примем, что при осуществлении одного цикла температура теплоприемника Т₂ не изменяется. Тогда в соответствии с (3.33)

Q₂ = T₂ ·ΔS₂ , (3.34)

где ΔS₂ – изменение энтропии теплоприемника при подводе к нему теплоты Q₂.

Подставим (3.34) в уравнение (3.2) и получим:

L_ц = Q₁ − T₂ ΔS₂ . (3.35)

Уравнение (3.35) справедливо как для обратимого, так и для необратимого циклов. Если в рассматриваемой термодинамической системе превращение теплоты в работу производится посредством обратимого цикла Карно, то получается максимально возможное значение работы цикла. При этом энтропия изолированной системы не изменяется. Это позволяет записать для изолированной системы:

ΔS₂ + ΔS₁ = 0 и ΔS₂ = − ΔS₁. (3.36)

Здесь ΔS₁ – изменение энтропии теплоотдатчика за цикл. Заметим, что энтропия рабочего тела после совершения цикла не изменится, так как рабочее тело возвращается в исходное состояние. С учетом (3.35) и (3.36) запишем выражение для максимальной полезной работы цикла:

. (3.37)

При осуществлении в системе необратимого цикла получаемая полезная работа (3.35) всегда меньше максимальной (3.37) на величину:

ΔL = L_ц^макс − L_ц = Т₂ (ΔS₁ + ΔS₂) = Т₂ ΔS_сист. , (3.38)

где ΔS_сист – изменение энтропии рассматриваемой изолированной системы вследствие протекания в ней необратимых процессов. Здесь ΔS₁ – величина отрицательная (уравнение3.32).

Потеря работоспособности системы ΔL тем выше, чем больше возрастание ее энтропии вследствие необратимости протекающих в ней процессов, т.е. вследствие диссипации энергии. Таким образом, возрастание энтропии изолированной системы может служить мерой диссипации энергии, т.е. мерой потери полезной работы.

3.9 Координаты т-s

Каждому состоянию любого вещества соответствует определенное значение энтропии s и температуры Т. Если использовать систему координат, где на оси ординат нанесены значения температуры Т, а на оси абсцисс – энтропии s, то в этих координатах равновесное состояние вещества изображается в виде точки, произвольный обратимый процесс изображается некоторой линией, а цикл – замкнутой совокупностью линий.

На рис. 3.6 изображен произвольный процесс 1 - 2 в Т - s координатах. Площадь заштрихованной площадки, соответствующая элементарному изменению энтропии ds при некоторой температуре Т равна, как следует из (3.16), элементарному количеству теплоты, участвующей в процессе dq = T·ds.

Вся теплота в процессе 1 - 2 определяется по формуле:

(3.39)

и изображается в Т - s координатах площадью а-1-2-b, ограниченной линией процесса, ординатами точек начала 1 – а и конца 2 – b процесса и осью абсцисс, если началом отсчета температуры на оси ординат является Т = 0. Если в процессе осуществляется подвод теплоты, то энтропия растет (s₂ > s₁) и состояние вещества изменяется в направлении от точки 1 к точке 2. При отводе теплоты ситуация обратная.

Рассмотрим цикл 1-а-2-b-1 в Т - s – координатах (рис. 3.7). В процессе 1-а-2 теплота q₁ подводится к рабочему телу в количестве, эквивалентном площади 1’-1-а-2-2’-1’. В процессе 2-b-1 от рабочего тела отводится теплота q₂ в количестве, равном площади 2’-2-b-1-1’-2’. Очевидно, что площадь, ограниченная циклом 1-а-2-b-1, равна q₁ - q₂ = l_ц, т.е. работе цикла. Термический к.п.д. цикла, изображенного в Т–s координатах, легко определяется как отношение площадей, соответствующих l_ц и q₁ :

Ниже рассмотрены основные термодинамические процессы в Т - s координатах (рис.3.8).

3.9.1 Адиабатный процесс (рис. 3.8а). В этом случае dq = 0 и, следовательно:

. (3.40)

Интегрируя (3.40), получим s₁ = s₂ = const. Обратимому адиабатному процессу в Т - s координатах соответствует вертикальная линия 1 - 2. При адиабатном расширении температура газа падает (процесс 1 - 2), а при адиабатном сжатии – растет (процесс 2 -1). Вследствие постоянства энтропии в обратимом адиабатном процессе его называют также изоэнтропным. В дальнейшем все изоэнтропные процессы будем именовать адиабатными.

В необратимом адиабатном процессе, например, при наличии трения, энтропия растет. Причем возрастание энтропии происходит как при сжатии газа (процесс 2 – 1’, рис. 3.8а), так и при расширении (процесс 1 – 2’). Площадь под кривой процесса в Т - s координатах изображает в этом случае теплоту трения.

3.9.2 Изотермический процесс Т = const (рис. 3.8б) в Т - s координатах изображается горизонтальной линией 1 - 2. Теплота процесса эквивалентна площади прямоугольника а-1-2-b и равна:

. (3.41)

При подводе теплоты энтропия растет и процесс протекает от точки 1 к 2. При отводе теплоты – ситуация обратная. Изменение энтропии в изотермическом процессе может быть определено по уравнениям (3.25) или (3.27):

.

3.9.3 Изохорный процесс υ = const (рис. 3.8в) изображается в Т - s координатах логарифмической кривой 1-2. В соответствии с (3.25) изменение энтропии в обратимом изохорном процессе равно:

.

Рассмотрим особенности протекания изохоры в Т - s координатах. Тангенс угла наклона касательной к изохоре υ = const определяется из уравнения (3.22)

.

С ростом температуры газа угол наклона касательной к оси абсцисс возрастает. Следовательно, изохора представляет собой кривую, обращенную выпуклостью к оси абсцисс. Изохоры, соответствующие различным значениям υ, эквидистантны между собой, т.к. при одинаковых температурах они имеют один и тот же угол наклона касательных. При изменении объема от υ₁ до υ₂ изохора смещается на отрезок a-b (рис.3.8в), величина которого определяется из уравнения (3.25) при условии постоянства температуры Т:

.

Изохора, соответствующая более высокому значению υ, располагается на большем удалении от оси ординат.

3.9.4 Изобарный процесс р = const (рис. 3.8г), как и изохорный, в Т - s координатах изображается логарифмической кривой. Изменение энтропии в обратимом изобарном процессе в соответствии с (3.27) равно:

.

Изобара является более пологой кривой, чем изохора. Это видно из сравнения углов наклона касательных к изохоре и изобаре (рис. 3.8г). Для изобары dq = с_рdТ и поэтому:

,

откуда:

.

Так как c_p > c_υ, то при одинаковых значениях Т имеем tgβ_p < tgβ_υ. Кривые изобарных процессов при различных значениях р, так же, как и изохоры, эквидистантны между собой. Расстояние между изобарами, соответствующими давлениям р₁ и р₂ (рис. 3.8г), определяется по аналогии с изохорами из (3.27):

.

В отличие от изохорных процессов с ростом давления изобары смещаются ближе к оси ординат.

3.9.5 Политропные процессы (рис. 3.9). В общем случае политропа в Т - s координатах изображается кривой линией, вид и положение которой зависят от показателя n. На рис.3.9 в Т - s координатах показаны типичные группы политроп в области расширения газа, свойства которых рассмотрены в п. 2.10.

В Т - s координатах можно построить диаграмму состояния как отдельного газа, так и смеси газов (например, воздуха). Пример общего вида части такой диаграммы приведен на рис. 3.10. Она состоит из сетки изохор и сетки изобар. На каждой из этих линий отмечается соответствующее ей значение удельного объема или давления. Горизонтальные и вертикальные линии изображают постоянные температуры и энтропии, значения которых наносятся обычно в виде масштаба на осях ординат и абсцисс.

С помощью Т - s диаграммы можно проводить исследования отдельных процессов и циклов, в которых данный газ используется как рабочее тело. Рассмотрим, например, адиабатное расширение газа. Если известны два параметра Т₁ и р₁, характеризующие начальное состояние газа, то это позволяет нанести на диаграмму Т-s исходную точку 1, отвечающую этому состоянию (рис. 3.10). Через точку проводим вертикальную прямую (адиабату) до пересечения с линией, соответствующей заданному конечному параметру состояния газа, например, р₂. Остальные конечные параметры легко определяются по изохоре и изотерме, которые проходят через точку 2. Использование Т-s диаграммы существенно упрощает расчеты, особенно при переменной теплоемкости газа.