4.4 Параметры адиабатно заторможенного потока

Пусть в некотором сечении газового потока (рис. 4.3) скорость, энтальпия, температура и давление равны: с_, i, Т и р. Затормозим условно поток с этими параметрами, считая, что теплообмен с окружающей средой отсутствует, т.е. ,торможение происходит адиабатно. Параметры адиабатно заторможенного потока обозначаются с помощью индекса со звездочкой i^*, Т^*, р^*. Величины i^*, Т^* и р^* называются также: полная энтальпия, полная температура, полное давление.

Поскольку в рассматриваемом случае q_вн = 0 и l_вн = 0, то считая с^* = 0, из (4.9) найдем полную энтальпию газа:

. (4.13)

Из уравнения (4.11) определим полную температуру:

. (4.14)

Давление заторможенного потока найдем из уравнения адиабатного процесса (2.39):

, (4.15)

или с учетом (4.14)

, (4.16)

Выразим величины Т^* и р^* через число Маха , где а – скорость звука. Учитывая, что , из (4.14) найдем: .

4.5 Критические параметры потока

Поскольку в идеальном газе k·R·T = a², то после преобразований получим:

. (4.17)

Подставляя значение Т^* из (4.17) в (4.15), далее получим:

. (4.18)

Если в каком-либо сечении потока газа число М = 1, т.е., скорость газа равна местной скорости звука, то параметры потока в этом сечении называются критическими. Найдем связь между критическими и полными параметрами потока. Так как М_кр. = 1, то из (4.17) и (4.18) следует:

, (4.19)

, (4.20)

а из уравнения состояния идеального газа с учетом (4.19) и (4.20) имеем:

. (4.21)

По определению критическая скорость равна , или с учетом (4.19):

. (4.22)

Таким образом, критические параметры потока для данного газа полностью определяются соответствующими полными (заторможенными) параметрами.

4.6 Уравнение сохранения энергии в параметрах заторможенного потока. Частные случаи уравнения

Запишем уравнение сохранения энергии (4.9) в параметрах заторможенного потока:

q_вн. − l_вн. = i₂^* − i₁^*. (4.23)

В случае идеального газа этому уравнению можно придать следующий вид:

q_вн. − l_вн. = с_р(Т₂^* − Т₁^*) , (4.24)

или в дифференциальной форме:

dq_вн. − dl_вн. = с_рdТ^* . (4.24*)

Рассмотрим частные случаи уравнения сохранения энергии.

4.6.1 Энергоизолированный поток. Поскольку в энергоизолированном потоке q_вн. = 0 и l_вн. = 0, то из (4.9) следует:

, (4.25)

или

i₁^* − i₂^*. (4.25*)

Таким образом, в энергоизолированном потоке полная энтальпия (сумма энтальпии и кинетической энергии) постоянна. В случае идеального газа из (4.24) следует Т₁^*=Т₂^*. Следовательно, в энергоизолированном потоке идеального газа полная температура потока постоянна.

4.6.2 Компрессор. Обозначим через l_к работу, сообщаемую 1 кг газа в компрессоре (рис.4.4). Поскольку в компрессоре внешняя работа подводится к газу, то l_вн. = − l_к. Теплообменом между газом и элементами компрессора можно пренебречь (q_вн. = 0).

Поэтому для газового потока в компрессоре из (4.9) следует

_, (4.26)

или:

l_к = i₂^* − i₁^*, (4.27)

т.е. внешняя работа в компрессоре идет на повышение полной энтальпии газа. В случае идеального газа:

l_к = с_р(Т₂^* − Т₁^*). (4.28)

Последнее выражение может быть использовано для экспериментального определения величины l_к по измеренным значениям Т^*₁ и Т^*₂. Зная работу l_к, можно найти мощность N_к, необходимую для вращения компрессора N_к, = G l_к, где G – расход газа через компрессор.

Рассмотрим идеальный компрессор. В идеальном компрессоре сжатие газа происходит без трения и теплообмена, т.е. является адиабатным. Вследствие этого, эффективную работу идеального компрессора называют адиабатной:

l_{ад к} = с_р(Т₂^*_ад − Т₁^*) ,

где Т₂^*_ад. - температура газа на выходе из компрессора при адиабатных условиях сжатия. Вынося за скобки температуру Т₁^* и учтя, что в адиабатном процессе

,

получим:

. (4.29)

Здесь: − степень повышения полного давления в компрессоре.

4.6.3 Турбина. Поскольку в турбине (рис. 4.5) газ совершает работу, то l_вн. = l_т, где l_т – работа на валу турбины, отнесенная к 1 кг газа. Приняв q_вн. ≈ 0, из (4.9) для потока в турбине получим:

l_т , (4.30)

или

l_т = i₁^* − i₂^*. (4.31)

Следовательно, работа на валу турбины получается за счет уменьшения полной энтальпии газового потока. В случае идеального газа:

l_т = с_р (Т₁^* – Т₂^*). (4.32)

Зная величину l_т, и расход газа G, можно найти мощность, развиваемую турбиной, из уравнения N_т = G l_т.

Рассмотрим идеальную турбину, в которой отсутствуют теплообмен и трение и поэтому процесс расширения газа является адиабатным. Адиабатная работа турбины равна l_ад.т. = с_р(Т₁^* − ), где - температура газа на выходе из турбины при адиабатном процессе расширения. Проведя преобразования, которые были сделаны выше, получим:

, (4.33)

где ‒ степень понижения полного давления газа в турбине.

4.6.4 Теплообменник. Камера сгорания. В теплообменнике внешняя энергия подводится (или отводится) только в виде теплоты q_вн.; поэтому из (4.23) следует:

q_вн. = i₂^* − i₁^*, (4.34)

а в случае идеального газа:

q_вн. = с_р (Т₂^* − Т₁^*). (4.35)

Соотношения (4.34) и (4.35) соблюдаются и для камеры сгорания; в этом случае под внешней теплотой q_вн. понимают количество теплоты, выделившееся в камере сгорания в результате процесса сжигания 1 кг газа.