Раздел 4

ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕРМОДИНАМИКИ ГАЗОВОГО ПОТОКА

Движение газа в элементах реальных энергетических установок имеет сложный трехмерный характер, а дифференциальные уравнения, описывающие поток, в ряде практически важных случаев затруднительны для решения и анализа. В термодинамике газового потока применяется более простой (одномерный) подход, с использованием первого закона термодинамики. При этом вводятся следующие два допущения:

1. Движение газа является стационарным (т.е. установившимся) в любой точке пространства, а параметры потока (скорость, давление, температура, плотность) не изменяются во времени.

2. Параметры потока во всех точках рассматриваемого сечения одинаковы, их изменение происходит лишь в направлении движения.

Строго говоря, уравнения, полученные для этих условий, соблюдаются лишь для элементарной струйки, поперечные размеры которой очень малы. Ниже рассмотрены основные уравнения термодинамики газовых потоков.

4.1 Уравнение неразрывности

Выделим в потоке газа в канале с непроницаемыми стенками объем, ограниченный сечениями 1 и 2, перпендикулярными скорости потока (рис. 4.1). Тогда расход газа G (количество газа, проходящее через поперечное сечение канала в единицу времени, кг/с) будет равен:

G = c ρ F , (4.1)

где c, F – скорость потока и площадь поперечного сечения канала. Так как поток установившийся, то расход газа, поступающий в рассматриваемый объем, равен расходу газа, выходящего из этого объема (G₁ = G₂₎.

Если это условие не выполнено, то в объеме 1−2 будет изменяться масса газа; а параметры потока (р, Т, с) будут переменными. Следовательно, в стационарном потоке расход газа через сечения канала одинаков G₁ = G₂ = const, или в математической форме:

c·ρ·F = const . (4.2)

Уравнение (4.2) представляет собой уравнение неразрывности (сохранения массы) стационарного потока.

Выполнив логарифмирование и последующее дифференцирование уравнения (4.2), получим уравнение неразрывности в дифференциальной форме:

, (4.3)

или:

. (4.3*)

Если стенки канала проницаемы и через них в канал может втекать дополнительный газ, то условие (4.2) не выполняется. В этом случае уравнение неразрывности в дифференциальной форме будет иметь следующий вид

. (4.3**)

Здесь dG – изменение расхода газа на элементарной длине канала dx.

Для произвольного сечения потока, составляющего угол α с направлением нормали к вектору скорости, расход определится уравнением G = c ρ F_α cos α, где F_α – площадь сечения канала, составляющего угол α с направлением нормали к вектору скорости (рис. 4.1).

4.2 Первый закон термодинамики для движущегося газа

В разделе 2 было показано, что уравнение первого закона термодинамики (п. 2.1) определяет баланс между теплотой, подведенной к телу (или отведенной от него), изменением внутренней энергии и работой расширения (сжатия), направленной на изменение объема. Для потока газа (жидкости) это уравнение можно интерпретировать как уравнение, выражающее закон сохранения и превращения энергии в системе координат, движущейся вместе с некоторым объемом, выделенным в потоке. При этом теплота, подводимая к газу, складывается из теплоты, подводимой от внешних источников q_вн., и теплоты, выделяемой в результате работы сил трения q_r. Поэтому уравнение первого закона термодинамики (2.3) для потока газа будет иметь следующий вид:

dq_вн + dq_r = du + p·dυ . (4.4)

Уравнение (4.4) применимо к любым газовым потокам, в том числе и нестационарным. Если в потоке не совершается работа изменения объема (p·dυ = 0), то вся теплота, подведенная к газу или отведенная от него, идет на изменение его внутренней энергии. Из сказанного следует, что, так же как и в неподвижной среде, тепловая форма энергии (внутренняя энергия; энергия, подводимая или отводимая в форме теплоты) может быть преобразована в механическую форму только при изменении объема газа.

В том случае, когда рабочее тело несжимаемо (dυ = 0), то подведенная теплота не может быть преобразована в какой-либо вид энергии механического движения (кинетическая энергия, потенциальная энергия и др.); рабочее тело только может только изменять внутреннюю энергию. Поэтому несжимаемая жидкость не может служить рабочим телом тепловых двигателей.

Уравнение первого закона термодинамики для потока газа (4.4) может быть также записано в следующем виде:

dq_вн + dq_r = di – υdp , (4.5)

которое вытекает из уравнения (2.23).