3.4. Распределение молекул по координатам

В этом разделе мы перейдем теперь к анализу распределения молекул газа по координатам. Очевидно, что если на молекулы газа не действуют внешние силы, то газ равномерно распределен по заданному объему. В этом случае давление и плотность газа одинаковы во всех точках. Если же газ находится в силовом поле (как, например, атмосферный воздух, который испытывает притяжение Земли), то давление и плотность газа уже не будут всюду одинаковыми, а будут меняться от точки к точке.

Барометрическая формула. Найдем закон, по которому изменяется давление атмосферы (или плотность воздуха) по мере удаления от поверхности Земли. Выделим вертикальный столб воздуха с площадью горизонтального сечения S.

Предположим, что

• этот столб находится в тепловом равновесии, то есть температура везде одинакова (в реальной атмосфере это не так, но для простоты анализа будем предполагать Т=const);

• газ идеальный, то есть для него справедливо уравнение Клапейрона-Менделеева

• можно пренебречь изменением ускорения свободного падения g с высотой (что справедливо для не очень больших высот).

Атмосферное давление на высоте h обусловлено весом вышележащих слоев газа. Пусть на высоте h давление р, тогда на высоте h+dh давление р+dp (рис. 3.5). При этом, если dh>0, то давление уменьшается, dp<0, так как уменьшается вес вышележащих слоев атмосферы.

Рис. 3.5. Вертикальный воздушный цилиндр (к выводу барометрической формулы)

Выделенный слой газа, высотой dh и массой т, находится в равновесии. Следовательно, сумма действующих на него сил должна быть равна нулю: В проекциях на вертикальную ось получаем

(3.45)

где   плотность газа на высоте h. Раскрывая скобки и приводя подобные члены, переходим к уравнению

(3.46)

Воспользуемся уравнением КлапейронаМенделеева для выделенной массы газа т и выразим плотность через давление:

(3.47)

Подставляя (3.47) в (3.46), окончательно получаем

(3.48)

Это уравнение можно проинтегрировать в случае изотермической атмосферы (Т=const):

(3.49)

Постоянная интегрирования р₀ равна давлению на поверхности (h=0). Полученная зависимость называется барометрической формулой. Она описывает распределение давления газа по высоте в однородном поле тяжести при постоянной температуре. Следует обратить внимание на то, что распределение зависит от рода газа. Чем меньше , тем меньше по абсолютной величине показатель степени, и тем медленнее для такого газа уменьшается давление при увеличении высоты. На рис. 3.6 показаны зависимости давления от высоты при температуре Т=300 К (27ґС) для трех газов различной молярной массы  водорода Н₂ (₁=2.016 г/моль), азота N₂ (₂=28.013 г/моль) и кислорода 0₂ (₃=31.999 г/моль).

Рис. 3.6. Зависимость давления трех разных газов Н₂, N₂ и O₂ от высоты

Пример.

Определим, на какой высоте давление кислорода уменьшается в два раза (при Т=300 К).

Применяем барометрическую формулу. Тогда откуда Используя уравнение идеального газа в форме

(3.50)

из барометрической формулы легко получить закон изменения с высотой числа п молекул в единице объема:

(3.51)

Из (3.51) следует, что состав воздуха с ростом высоты будет меняться количественно: возрастет концентрация газов с малой молярной массой, например водорода и гелия.

У поверхности воздух представляет собой смесь газов: N₂  78.08%, O₂  20.95%, СO₂  0.03%, инертные газы  0.94%. Посмотрим, как изменится относительное количество кислорода к азоту в изотермической атмосфере (Т=300 К) на высоте 10 км.

Отношение концентраций кислорода и азота уменьшится от 0.27 до 0.23. Наш расчет справедлив лишь для изотермической атмосферы и сравнительно небольших высот, для которых ускорение свободного падения изменяется незначительно: g=const, T=const.

Распределение Больцмана. Число молекул в единице объема зависит от высоты h и температуры Т, причем обе переменные входят в показатель экспоненты. Уравнение (3.51) можно записать в виде

(3.53)

где k_B  масса одной молекулы газа. При этом выражение m₀gh, стоящее в числителе, есть не что иное, как потенциальная энергия одной молекулы в поле тяжести Земли. Поэтому можно говорить, что мы имеем распределение молекул по значениям потенциальной энергии. При этом чем больше потенциальная энергия, тем меньше таких молекул. В знаменателе показателя степени стоит k_B  величина, пропорциональная средней энергии теплового движения молекулы. Чем выше температура, то есть чем больше энергия теплового движения молекул, тем экспоненциальный множитель, пропорциональный концентрации молекул, с ростом высоты убывает медленнее. На рис. 3.7 показаны кривые относительной концентрации молекул кислорода O₂ на разных высотах при двух различных температурах Т₁=300 К и Т₂=1 300 К (последний случай, конечно, нереален и используется лишь как иллюстрация).

Рис. 3.7. Зависимость относительной концентрации молекул кислорода от высоты при разных температурах T₁=300 K и T₂=1 300 K

Видно, что число частиц в единице объема при большей температуре медленнее убывает с высотой. При уменьшении температуры большая часть частиц располагается на меньшей высоте. А при Т=0 все частицы расположились бы на поверхности Земли. Этот факт имеет простое физическое объяснение. Каждое конкретное распределение молекул по высоте устанавливается в результате действия двух тенденций:

• притяжение молекул к Земле, характеризуемое потенциальной энергией m₀gh, стремится расположить их на поверхности Земли;

• тепловое движение, характеризуемое энергией k_BТ, стремится разбросать молекулы по всем высотам равномерно.

Обозначив Е_р=m₀gh, получим

(3.53)

то есть концентрация молекул больше там, где меньше их потенциальная энергия. Это согласуется с общим принципом, которому подчиняется природа. Всякая система стремится занять положение с наименьшей потенциальной энергией. Частицы будут с большей вероятностью располагаться в тех точках пространства, где потенциальная энергия меньше.

Больцман доказал, что такое распределение осуществляется в поле любых сил, а не только в гравитационном поле. Поэтому распределение (3.53), где п  концентрация частиц с потенциальной энергией Е_р называется распределением Больцмана.