5.2. Цикл Карно

Для работы любой тепловой машины по замкнутому циклу необходима внешняя среда, которую условно можно представить себе как два тела  нагреватель, находящийся при температуре Т_тах, и холодильник, находящийся при температуре T_min (T_min<Т_тах). Предполагается, что при контакте с нашей системой температуры нагревателя и холодильника не меняются. При контакте с нагревателем система получает тепло, при контакте с холодильником  отдает его.

В термодинамике существует теорема Карно:

При заданных температурах нагревателя и холодильника максимально возможный КПД тепловой машины не зависит от природы рабочего тела машины и определяется формулой (5.5)

Реализация максимально возможного КПД достигается в так называемом цикле Карно, когда идеальный газ проходит замкнутый цикл, составленный из двух адиабат и двух изотерм (рис. 5.2).

Рис. 5.2. Цикл Карно (обходится по часовой стрелке)  комбинация двух изотерм 12, 34 и двух адиабат 23 и 41; теплообмен со средой осуществляется в изотермических ветвях цикла: на участке 12 газ получает теплоту Q₁, а на участке 34 отдает теплоту Q₂

Убедимся, что показанный замкнутый процесс действительно имеет КПД, соответствующий формуле (5.5). Температура системы равна T₁ в точках 1, 2 и T₂ в точках 3, 4. Значения остальных термодинамических параметров (р, V) будут иметь в качестве индекса номер соответствующей точки на диаграмме. Нам надо вычислить количества полученной Q₁, и отданной Q₂ теплоты, найти совершенную газом работу А_Ц=Q₁Q₂ и определить КПД цикла. Сразу заметим, что на участках 23 и 41 система не обменивается теплом с внешней средой. Следовательно, теплоту Q₁ газ получает на участке 12, а теплоту Q₂ отдает на участке 34. Рассмотрим подробнее различные участки цикла.

Изотерма 12. На этом участке газ находится в контакте с нагревателем и происходит изотермическое расширение от объема V₁ до объема V₂. Температура Т₁ не меняется, следовательно, не изменяется внутренняя энергия, а вся полученная теплота расходуется на совершение газом работы:

Величину работы газа при изотермическом процессе мы уже вычисляли ранее, так что с учетом формулы (2.13) находим

(5.6)

Адиабата 23. Здесь система отсоединяется от нагревателя и не обменивается теплом с внешней средой: Q₂₃=0. Газ продолжает расширяться, но уже адиабатно. Работа совершается за счет внутренней энергии газа, и его температура падает до значения Т₂. На этом участке цикла нам нужна информация, доставляемая уравнением адиабаты:

(5.7)

Изотерма 34. Система подключается к холодильнику, и газ начинает сжиматься. Внутренняя энергия остается неизменной, над газом совершается работа (А₃₄<0), а выделяющееся тепло

передается холодильнику. Имеем аналогично (5.6)

(5.8)

Адиабата 41. Система отключена от внешней среды и продолжает сжиматься изотермически, что приводит к повышению ее температуры до Т₁. В конечном итоге система возвращается в первоначальное состояние. Поскольку точки 4 и 1 лежат на адиабате, получаем связь объемов и температур, аналогичную (5.7):

(5.9)

Из уравнений (5.7) и (5.9) находим отношения объемов

откуда следует, что

(5.10)

Поэтому отдаваемую холодильнику теплоту Q₂ (см. уравнение (5.8)) можно записать как

(5.11)

Используя выражение (5.6) для теплоты, полученной системой, находим совершенную в ходе цикла работу

(5.12)

Из проведенного анализа следует также, что максимальная температура в цикле равна Т_тах=Т₁, а минимальная  Т_тin=Т₂. Если разделить (5.12) на (5.6), то немедленно получим выражение (5.5) для КПД цикла Карно, из которого выпадают все параметры, кроме температур холодильника и нагревателя.

Пример 1. Котел тепловой станции работает при температуре около t₁=550ґС. Отработанное тепло отводится к реке при температуре около t₂=20ґС. Найдем максимально возможный КПД этой станции.

Поскольку в формуле для КПД цикла Карно используются абсолютные температуры, надо перейти от шкалы Цельсия к шкале Кельвина: Т₁=550+273=823 К, Т₂=20+273=293 К. Теперь находим КПД тепловой станции: Конечно, реальный КПД станции заметно ниже.

Если цикл Карно осуществить в обратном направлении, то есть против часовой стрелки на рис. 5.2, то для определения эффективности холодильной установки надо использовать формулы (5.3), (5.4) и выражения (5.6), (5.11). Получаем тогда

(5.13)

Печально, но чем ниже температура внешней среды Т₁, тем меньше мы нуждаемся в холодильнике, и тем эффективнее он работает.

Приведем численный пример. Если кондиционер поддерживает в комнате температуру t₂=20ґС, а температура наружного воздуха равна t₁=30ґС, то для холодильного коэффициента имеем а для КПД холодильника

Конечно, на самом деле температура тепловыделяющего элемента больше наружной температуры на 2030 градусов, так что разность температур может достигать 3040 градусов, что приводит к значениям Напомним, что речь идет об идеальных установках, работающих по циклу Карно. Реальный типичный кондиционер потребляет мощность 750 Вт, перекачивая за час около 5 МДж тепловой энергии. Это значит, что за секунду кондиционер совершает работу А=750 Дж и отнимает у воздуха в комнате теплоту Отсюда находим Мы видим, что реальный кондиционер гораздо менее эффективен, нежели идеальный холодильник Карно.

Пример 2. Пусть в домашнем холодильнике поддерживается температура t₂=3ґС (Т₂=270 К), а температура в кухне равна t₁=27ґС (T₁=300 К). Пусть далее мотор холодильника потребляет мощность N=200 Вт. Предполагая, что холодильник работает по циклу Карно и что тепловыделяющий элемент имеет температуру окружающего воздуха, определим мощность потока тепловой энергии, перекачиваемой из камеры холодильника в кухню.

За время t мотор совершит работу КПД холодильника равен откуда находим количество теплоты, поступающее в кухню в единицу времени: Обратите внимание, что холодильник работает как весьма эффективный обогреватель помещения. Надо только оплачивать потребляемую мотором мощность 200 Вт, а в кухню поступит в 10 раз большая энергия, 90% которой перекачивается из камеры холодильника (90%  КПД холодильника в этом примере). Любопытно, что если бы вместо холодильника был включен обогреватель той же мощности, то он нагревал бы помещение в 10 раз слабее.

Наши численные оценки можно рассматривать как пример теплового загрязнения окружающей среды, свойственного технической цивилизации.

Какие машины в принципе могут быть обратимыми? Мы видели, что тепло может течь только от нагретых тел к холодным. Это и создает необратимость и неравновесность подобных процессов. Есть два исключения. В адиабатном процессе вообще не происходит передачи тепла. Медленно сжимая поршнем газ в теплоизолированном сосуде, мы совершаем работу, нагревая при этом газ. Если отпустить поршень, то газ адиабатно расширится, охладившись до прежней температуры и совершив то же количество работы за счет своей внутренней энергии. Мы имеем дело с обратимым процессом. Другой обратимый процесс  это передача тепла от одного тела к другому при одинаковой температуре тел. Тогда тоже нет выделенного направления переноса тепловой энергии, и такой (изотермический) процесс также будет обратим, он должен происходить бесконечно медленно и поэтому будет равновесным. Таким образом, обратимыми могут быть адиабатный и изотермический процессы и любой цикл, построенный из таких процессов. С одним из них  циклом Карно  мы уже знакомы.

Но если тепло переносится при разных температурах контактирующих тел и тем более, если в системе есть трение или иные потери энергии, если в газе возникают ударные волны, вихри, турбулентности и т. п., то процесс будет неравновесным и необратимым. Так, взрыв паров бензина в цилиндре автомобильного двигателя не является обратимым процессом: движение поршня в обратном направлении никогда не приводит к рекомбинации продуктов взрыва обратно в пары бензина.