7.6. Статистика ФермиДирака

Бозоны и фермионы имеют совершенно разные статистические свойства, то есть по-разному ведут себя в коллективе себе подобных. Кроме непосредственного силового взаимодействия между частицами, имеется специфически квантовое, обменное взаимодействие: это не какие-то дополнительные силы или поля  одни частицы влияют на поведение других одним своим присутствием. Эти эффекты ощущаются частицами, если они находятся друг от друга на расстояниях, меньших или порядка длины волны де Бройля _В. При высоких температурах энергии частиц велики и _В мало  это область классической физики. При низких температурах _В возрастает и квантовые эффекты доминируют.

Рассмотрим систему одинаковых фермионов с энергиями E_i в состоянии i (где i обозначает набор квантовых чисел, включая спин). Обозначим через п_i число частиц в состоянии i. Основной принцип статистической физики (классической и квантовой) формулируется исследующим образом:

Вероятность обнаружить систему в состояния i равна (7.38)

Здесь С  нормировочная постоянная, а   химический потенциал. Этот параметр появляется всегда при фиксированном числе частиц в системе, которое равно

где сумма берется по всем состояниям. По сути дела, уравнение (7.38)  это обобщение известного распределения Больцмана. Из принципа Паули следует, что n_i могут принимать лишь значения 0 и 1  в данном состоянии i может быть либо одна частица, либо ни одной вообще.

Из всего набора возможных состояний системы проследим за каким-то конкретным состоянием k с энергией Е_k. С некой вероятностью

(7.39)

в нем может не оказаться ни одной частицы (п_k=0). С вероятностью

(7.40)

в нем окажется одна частица (п_k=1). При записи формул (7.39), (7.40) мы использовали общее выражение (7.38) для вероятности

Поскольку третьего не дано, должно выполняться условие сохранения полной вероятности

откуда следует

(7.41)

Значит, среднее число частиц

в состоянии k получается равным

(7.42)

Формула (7.42) является основой квантовой статистики ФермиДирака. При высоких температурах получаем то есть равномерное распределение частиц по состояниям. Если число частиц N в системе фиксировано, то химический потенциал  определится из условия

(7.43)

Подчеркнем также, что согласно (7.42) среднее число частиц в данном состоянии всегда не превышает единицы. Это  прямое следствие принципа Паули.