7.4. Фононы

Как и внутри молекул, атомы в кристалле совершают малые колебания около фиксированных положений равновесия. Колебания атомов распространяются по кристаллу в виде слабо взаимодействующих волн с волновыми векторами k и частотами _i(k). Физически нормальные колебания в кристаллах порождают волны деформации кристаллической решетки (то есть упругие волны). Таким образом, движение атомов в кристалле может быть описано как суперпозиция плоских волн различной частоты

каждой из которых соответствует гармонический осциллятор с частотой _i(k).

Следуя идеям де Бройля, такой упругой волне в кристалле можно сопоставить  квазичастицу с  энергией и импульсом Она носит название фонона.

Фонон  элементарная порция звуковой энергии, подобно тому как фотон  элементарная порция световой (электромагнитной) энергии.

Наше сопоставление можно схематически изобразить следующим образом:

Индекс i стоит для обозначения типа соответствующей волны (продольная, поперечная, характеризующаяся определенным законом дисперсии и т. п.), или, как говорят, фононной моды. При квантово-механическом рассмотрении гармонический осциллятор данной фононной моды, как мы уже знаем, может иметь энергию При n_i=0 мы имеем нулевые колебания с энергией  фонона данной моды в твердом теле нет. При n_i=1 мы имеем новое состояние с энергией возбуждения  это и есть квазичастица фонон. При произвольном квантовом числе n_i энергия возбуждения равна В таком случае мы говорим, что в твердом теле распространяются п_i фононов данной моды i.

Используя полученные выше результаты, в случае термодинамического (теплового) равновесия можно найти среднее число фононов <n_i> с частотой _i. Действительно, мы уже нашли среднюю энергию <> квантового осциллятора (см. (7.6), где частоту  надо заменить теперь на частоту упругой волны _i). С другой стороны, эту же энергию можно представить в виде (7.6)

Приравнивая эти выражения, получаем

(7.30)

При низких температурах среднее число фононов экспоненциально убывает при T, стремящемся к 0: в системе не возникает возбуждений. Наоборот, при высоких температурах экспоненту в знаменателе можно разложить в ряд Тейлора и получить результат Следовательно, из полученного соотношения вытекает, что при достаточно высокой температуре в кристалле может одновременно возбуждаться неограниченное количество одинаковых фононов, то есть принцип Паули на фононы не распространяется. Напомним, что кванты электромагнитного поля  фотоны, находящиеся в состоянии равновесия со стенками полости, также подчиняются этому распределению.

Представление о фононах широко используется в физике твердого тела. Фононы называют квазичастицами, поскольку они хотя и вполне реальны, но существуют только в кристаллах: вне среды их нет. Идея существования квазичастиц была впервые выдвинута Л.Д. Ландау в 40-х годах прошлого века. Кроме фононов есть и другие типы квазичастиц. Тепловые колебания решетки можно рассматривать как фононный газ, при низких температурах  идеальный. При очень высоких температурах решетка плавится и модель невзаимодействующих фононов неприменима: они перестают быть свободными. Преимущество представления о фононах состоит в том, что в его рамках свойства твердого тела рассматриваются как свойства ансамбля большого числа независимых квазичастиц  фононного газа. Все представления этой модели могут быть использованы для описания поведения кристаллической решетки.

Можно рассматривать также взаимодействие обычных частиц (электронов, фотонов) с фононами. Так, электроны, обмениваясь фононами, испытывают притяжение. Несмотря на кулоновское отталкивание, может даже образоваться связанное состояние пары электронов. Подобный механизм ведет к явлению сверхпроводимости (будет рассмотрено далее).

Ранее мы обсуждали комбинационное рассеяние света кристаллами. Этот процесс можно трактовать как процесс взаимодействия фотона с фононами. Фотон, пролетающий через кристаллическую решетку, может возбудить в ней фонон одной из частот оптической моды кристалла. При этом фотон расходует часть своей энергии, вследствие чего его частота уменьшается  возникает красный спутник. Если в кристалле уже был возбужден фонон, то пролетающий фотон может поглотить его, увеличив за этот счет свою энергию; в таком случае возникает фиолетовый спутник.

Мы уже убедились, что число фононов в твердом теле не постоянно. Фононов тем больше, чем интенсивнее тепловое движение атомов, то есть чем выше температура. При высоких температурах число фононов пропорционально температуре, а с приближением к абсолютному нулю их число стремится к нулю.