7.5. Неразличимость тождественных частиц

Две частицы тождественны, если все их физические свойства в точности совпадают, что исключает возможность экспериментально различать их. В классической теории всегда предполагается, что мы можем в принципе проследить за движением частиц и сказать, какая из них куда полетела. Поэтому в классической теории даже тождественные частицы в принципе различимы. В квантовой механике это не так: принцип неопределенности не позволяет прослеживать траектории и, стало быть, неразличимость частиц имеет принципиальный характер и влияет на результат вычислений.

_{Пусть, например, система из двух частиц описывается гамильтонианом (оператором энергии) и пусть система находится в состоянии с волновой функцией Введем оператор переставляющий частицы местами, то есть обменивающий их радиусы-векторы:}

(7.31)

Математически тождественность частиц выражается в инвариантности (неизменности) гамильтониана относительно операции перестановки этих частиц, что в квантовой механике записывается как условие коммутации операторов то есть

(7.32)

Это условие обеспечивает физическую неразличимость частиц, поскольку тогда волновая функция (r₂, r₁) будет также решением уравнения Шредингера с тем же значением  энергии. Действительно, если и мы подействуем на обе части этого уравнения оператором коммутации то получим Из-за условия коммутации мы можем пронести оператор коммутации через гамильтониан: и наше уравнение примет вид Но мы помним, что коммутирование операторов с гамильтонианом означает сохранение их собственных значений. Найдем собственные значения р оператора коммутации. Для этого надо решить уравнение

(7.33)

С учетом определения (7.31) оператора коммутации, записываем это уравнение в виде

(7.34)

Снова подействуем на обе части (7.34) оператором перестановки частиц:

(7.35)

Из (7.34) и (7.35) получаем, что

(7.36)

то есть р=+1. Таким образом, оператор коммутации может иметь только два собственных значения. При р=1 волновая функция симметрична относительно операции перестановки частиц:

При р=1 имеем антисимметричную волновую функцию:

Таким образом, мы получили важный результат:

Волновые функции системы двух тождественных частиц могут быть либо четными, либо нечетными относительно операции перестановки частиц местами.

Справедливо обобщение этого результата:

Состояния системы тождественных частиц либо симметричны, либо антисимметричны относительно перестановки любых двух из них.

Какое состояние реализуется  зависит от природы рассматриваемых частиц.

Частицы с симметричными состояниями называются бозонами, с антисимметричными  фермионами.

Ранее этими именами мы называли частицы с целым и полуцелым спинами, соответственно. В релятивистском уравнении Дирака, в отличиe от уравнения Шредингера, спин частиц возникает автоматически. Существует фундаментальная теорема Паули:

Частицы с полуцелым спином (s=1/2, 3/2 и т. д.) описываются антисимметричными волновыми функциями, а с целым (s=0, 1, 2 и т. д.)  симметричными.

Эта теорема о связи спина со статистикой является следствием объединения квантовой механики с теорией относительности.

Обратимся для примера к состоянию двух атомных электронов. В пренебрежении взаимодействием между ними волновая функция распадается на произведение волновых функций каждого электрона по отдельности:

Индексы i, j обозначают здесь полный набор квантовых чисел (n, l, т, s), которыми одно состояние отличается от другого. Меняя электроны местами, приходим к состоянию с той же энергией, описываемому волновой функцией

Поэтому в силу принципа суперпозиции возможны состояния, описываемые любой линейной комбинацией этих двух функций, причем все они будут иметь ту же энергию. Однако мы теперь знаем, что для электронов со спином s=1/2 физический смысл имеет лишь антисимметричная комбинация

(7.37)

Если состояния электронов одинаковы (i=j, то есть совпадают все квантовые числа), то

Мы снова пришли к принципу Паули:

Не может быть двух электронов в одном состоянии.